по истории математики Тема: Готфрид Вильгельм (стр. 3 из 6)
Лейбниц-математик. Математические работы Лейбница
Парижские годы можно назвать первым этапом становления Лейбница как учёного-математика. Примерно за три года он, начав с «высокомерного математического невежества», как позже сам характеризовал свою квалификацию математика в предпарижские времена, дошел до овладения всей современной математической наукой и сделал открытия первостепенные составляющие самый прочный фундамент славы Лейбница. Для Лейбница в этот период жизни исключительное значение имело общение с Христианом Гюйгенсом. Гюйгенс был членом Парижской академии наук и постоянно жил в эти годы в Париже. Осенью 1672 г. Лейбниц поделился с ним своими математическими открытиями. Дело сводилось к суммированию одних числовых рядов с помощью соответствующим: образом построенных других числовых рядов. Гюйгенс не был знатоком такого рода вопросов, но некоторые задачи на суммирование бесконечных числовых рядов ему случалось решать, и он предложил Лейбницу получить один из своих прежних результатов: найти сумму бесконечного ряда
Закон образования слагаемых здесь таков: в знаменателе n-й дроби стоит сумма первых n натуральных чисел:
3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3,. . ., 28 = 1 + 2 +. . . + 7, . . .
Такую сумму (обозначим ее через Sn) называли тогда n-м треугольным числом и по формуле для суммы членов арифметической прогрессии имеем
Итак, надо было найти сумму ряда, составленного из обратных треугольных чисел. Лейбниц пошёл следующим путём. Он представил общий член ряда,
т. е. буквенное выражение вида,
как разность 
Если это сделать с каждым членом ряда, начиная со второго, получим
Таким образом, искомая сумма равна 1+2∙1/2=2. С помощью таких примерно соображений Лейбниц решил поставленную ему Гюйгенсом задачу и, что характерно для его мышления, обобщил постановку вопроса и нашел сумму ряда составленного из фигурных чисел любого порядка.
В анализе этих достаточно простых соотношений между рядами уже обнаруживается математическая изобретательность Лейбница и его стремление к тому, чтобы за частным увидеть общее, за решением конкретной задачи - метод, на котором решение основано. Несмотря на первые успехи Лейбница Гюйгенсу было не трудно заметить в беседе с молодым ученым, что тот не имеет достаточного представления о многих других областях математики. Он посоветовал Лейбницу познакомиться с изданным в 40-х годах XVII в. «Геометрическим трудом» Григория из Сен-Винцента и с «Арифметикой бесконечных» Валлиса. Это вводило Лейбница в область, которой Гюйгенс занимался с большим успехом и которую можно назвать анализом бесконечно малых того времени. То был математический анализ, который развивался преимущественно в геометрическом виде, без общего алгоритма, как набор методов и приемов разной общности.
С весны 1673 г., в Париже, следуя советам Гюйгенса, Лейбниц с исключительной энергией берется за изучение математики. И в короткий период (весна 1673 - осень 1673) делает ряд открытий. Одно из знаменитых - носящий его имя бесконечный ряд, выражающий знаменитое число π:
Этот ряд получен из другого более общего открытия этого короткого отрезка жизни учёного- «теорема о трансмутации».(Трансмутация это весьма общий для того времени прием преобразования интеграла, основанный на идее перехода от декартовых координат к полярным):
Пусть имеем гладкую, без точек перегиба дугу АВ. Из начала координат О проведем радиусы-векторы к ряду точек дуги, АВ, разбивая ее таким образом на малые дуги Δs,а площадь сектора ОАВО - на малые сектора, например OQRO. Из точек разбиения дуги АВ опустим перпендикуляры на ось абсцисс и кроме того для каждой из малых дуг Δs выполним следующее построение, показанное на рис.1. Для дуги QR: в произвольной точке дуги проведем касательную до пересечения с осью ординат (точка G) и дальше, опустим на нее перпендикуляр из О (ОН), а из точки G проведем прямую параллельно оси абсцисс и построим таким образом прямоугольник Q'CDR'.
 рис 1 |
Как видно из чертежа, треугольники OHG и QQ"R подобны, откуда следует,
т. е. площадь прямоугольника Q'CDR' равна удвоенной площади треугольника OQR (с точностью до величины высшего порядка малости). Итак, если мы сопоставим точке на АВ, взятой между Q и R, точку между С и D на параллели из G к оси х и выполним такое построение для всех Δs, то в пределе получим кривую KLM, причем сектор ОАВО окажется составленным из бесконечно малых треугольников, площади которых - половины малых прямоугольников, составляющих площадь «под кривой KLM».
Тем самым доказано, что кривая KLM является, как выражались в XVII в., квадратрисой для кривой АВ. Термин квадратриса был тогда достаточно распространен: если рассматривалась квадратура
и удавалось подобрать кривую z=F(x) так, что
то вторая прямая была квадротисой для первой. Своеобразие результата Лейбница состояло, как было указано, в разбиении площади ОАВО на элементы прямыми, исходящими из одной и той же точки О. В общем же виде переход от кривой АВ к кривой KLM таков: если уравнение первой кривой в прямоугольных координатах есть y = f(x), где f(x) непрерывно дифференцируемая функция, то уравнение второй кривой будет
z(x)= f(x) -x f(x)'.
Лейбниц применил это преобразование к циклоиде и пришел к уже известным результатам. Новое он нашел, применяя свой прием к окружности. В соответствии с расположением осей, указанным на рис.2,
 рис 2 |
Имеем уравнение окружности в виде y2=2ax-x2. И далее:
Квадратриса ОКМ в данном случае кривая, именуемая версиерой. Она показана на чертеже, на котором видны также ее точка перегиба (х = а/2, z = а/√З) и асимптота х = 2а. Площадь кругового сегмента а отсюда получается у Лейбница по следующей схеме (в записи которой использованы современные обозначения):
Далее Лейбниц преобразовывает подынтегральное выражение путем деления в степенной ряд и почленному интегрированию. Так для искомой площади получилось выражение:
Отсюда при z= a (квадрант) получается то, что Лейбниц назвал арифметической квадратурой круга и что привело в восхищение Гюйгенса, - очень простого строения (правда, и очень плохой сходимости) ряд для π:
Лейбниц тут же получает с помощью этого выражения различные другие новые тогда соотношения. В частности, ряд для π/4 сразу дает при попарном объединении слагаемых:
В период с 1674 по 1675 год Лейбниц активно занимается алгеброй. Возможно ревность к занятиям алгебраическими вопросами, возникла после того как Лейбниц узнал о предложенном Ньютоном методе решения алгебраических уравнений с помощью логарифмических шкал. И здесь, конечно, он начинает размышлять об основной проблеме – получить формулы для решения алгебраических уравнений любой степени в радикалах, аналогичные тем, которые в XVI в. математикам итальянской школы удалось открыть для решения уравнений 3-й и 4-й степени. Попутно Лейбниц начинает заниматься частным вопросом, тогда тоже злободневным: было выяснено, что формула Тартальи - Кардано для уравнений третьей степени приводит к мнимым выражениям, когда корни уравнения вещественны («неприводимый случай»), но оставался неясным, так сказать, механизм этого странного явления, и общность формулы Тартальи - Кардано ставилась под сомнение. Об итоге алгебраических занятий Лейбница в 1674-1675 гг. можно судить по письму к Гюйгенсу написанному Лейбницем осенью 1675г.
Лейбниц утверждает в письме, что им впервые доказаны следующие результаты:
1) формулы Кардано вполне хороши и общи, извлекаются ли входящие в них корни или не извлекаются, получаются ли правильные значения (т. е. положительные) для корней уравнения или ложные (т. е. отрицательные);