работа «Изучение процентов в курсе средней школы» (стр. 5 из 8)
а) 483 км б) другой ответ в) 35 км г)48,3 км
4. Из 200 квартир нового дома 65,5% -двухкомнатные, а остальные –трехкомнатные. Сколько трехкомнатных квартир в этом доме?
а) 69 б) 131 в) 34 г) 19
5. Сумма двух чисел составляет 180% первого слагаемого. На сколько % первое слагаемое больше второго?
а) на 25% б) на 20% в) на 33
% г) другой ответ6. Найдите число, 12% которого равны 240
а)28,8 б) 2000 в) 320 г) другой ответ
7. Первое число 40, а второе 30. Какой % составляет первое число от разности этих чисел?
а) 40% б) 400% в) 133
% г) другой ответ | Тема 2. Решение типовых задач на проценты. Алгоритм решения задач методом составления уравнений
|
| Теоретическая часть |
Урок можно начать с постановки проблемы: что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%. Ответить на вопрос, не производя вычислений. Чаще всего ученики дают неверный ответ: «Не изменится.»
Необходимо обратить внимание учащихся на момент, когда приходится определять, от какого числа следует искать процент. Подвести учащихся к правильной и естественной схеме решения этой задачи нужно на примерах, а потом сформулировать правило:
за 100% следует принимать то число, с которым происходит сравнение, причем слова «больше на р %» или «меньше на р%» не имеют значения
Практическая часть
Задача10
На сколько процентов a больше b , если b меньше, чем a на 20%?
Решение: по условию b меньше, чем а на 20%. Значит, приняв а за 100%, для b получаем:
b=a-
. Пусть теперь а больше на х %, тогда, приняв за 100% число b, найдема = b+
. Из этих двух равенств следует такое: а = (а- ) + 
·( а - ). Решая это уравнение относительно х, получим: х = 25%. Ответ: 25%Задача 11. Стоимость набора из 25 основных продуктов питания по сравнению с ноябрем увеличилась на 24,7% и составила 3913 руб. Сколько стоила « продовольственная корзина» в ноябре?
Решение. Обозначив искомую цену за х, составим уравнение по условию задачи:
Ответ: 3138 руб. Задача 12. Магазин купил книгу со скидкой 10% от номинала, а продал с наценкой10% от закупочной цены. Продажная цена будет больше или меньше номинала? На сколько? Какой % продажная цена составит от номинала?
Задача 13. Книгу купили со скидкой 10% от номинала. Больше или меньше 10% должна быть наценка на закупочную цену, чтобы книга продавалась по номинальной цене?
Задачи для самостоятельного решения
Задача 14. Себестоимость продукции повысилась сначала на 10%, а затем понизилась на 20%. На сколько % понизилась себестоимость продукции.
Задача 15. на сколько % увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличилось на 20%, а другое – на 40%?
Задача 16. в течение года завод трижды уменьшал выпуск продукции на одно и то же число %. Найдите это число, если известно, что общий % снижения после трех изменений составил 65,7%.
Тема 3. Решение более сложных задач на проценты
Задача 17. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Решение:
стоимость зонта в ноябре составляла 85% от 360 р., то есть 360·0,85=306(р.). второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., то есть 306·0,9 = 275,4 (р.).
Ответ: 275 р. 40 к.
Задача 18. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке – до 10%.сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?
Решение:
просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х т , и на ярмарку будет доставлено 0,9·0,85х т. Составим уравнение: 0,9·0,85х = 1, откуда х ≈ 1,3 т.
Ответ: не менее 1,3 т.
Задача 19. Букинистический магазин при продаже книги по номиналу запланировал определенный процент прибыли. Продал же со скидкой 10% от номинальной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько % прибыли первоначально предполагал получить магазин?
В конце изучения этой темы следует провести контрольный тест №2 (см. в приложении).
Тема 4. Правило начисления «сложных процентов»
Теоретическая часть
Для выхода на формулу начисления «сложных процентов» полезно решить несколько задач, аналогичных следующим:
Задача 20. В сбербанк положили 1000 рублей. Подсчитайте, какую сумму должны получить через 2 года, если по истечению каждого года банк начисляет 3% дохода?
Решение: 3%=0,03. 1000*0,03=30(руб.)
1000+30=1030(руб.) – за 1 год.
1030*0,03=30.9(руб.)
1030+30.9=1060,9(руб.)-за 2 год. Ответ: 1060, 9 руб.
Задача 21. В банк положен вклад из расчета 3% годовых .Какой доход в % принесет вклад через 4 года?
Решение: обозначим сумму первоначального вклада за х, тогда через 1 год сумма вклада составит х +0,03х=1,03х, через 2 года 1,03х+1,03х*0,03=1,03 х, через 3 года -.(1,03) х и
Через 4 года (1,03) х=1,12550881х
1б12550881х-х=0,12550881х.
Через 4 года вклад принесет доход 12,550881%. Ответ: 12, 550881%
Задача 22. В сберкассу положили 200р., на которые начисляют 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения?
Решение полезно провести на конкретных числах и в общем виде.
| Начальный капитал, р. | 200 | а |
| Процент прибыли, % | 3 | р |
| Прибыль, р. | 200∙0,03 |  |
| Конечный капитал | 200+200∙0,03= =200·(1+0,03)│ | к = а∙( 1+ |
В итоге получилась формула зависимости
к = а∙( 1+ 
), дающая возможность решить три типа задач на денежные расчеты: на нахождение одного из параметров, зная два других.
Вопрос. Сколько денег будет в конце второго года хранения?
Отвечая на него, получим: к = а∙( 1+ ) 
(1) . А третьего? А п-го? В итоге получается формула к = а∙( 1+ )
, где а- начальный капитал, р - процент прибыли за один промежуток времени; п - число промежутков. Эта формула называется формулой «сложных процентов».Полученная формула показывает, что значение величины к растет как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии 1+ 
. Формула (1 ) является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и применять простого процентного роста: к = а∙( 1+ 
), (2) где а ,р и п имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в этом случае процент каждый раз берется от одного и того же числа а).
Следует уделять много внимания решению таких задач.
Тема 5. Решение задач на применение формул «сложного процента», простого процентного роста.
Практическая часть
Задача 23. Сумма в 1000 р. уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится а) до 750 р.; б)500 р.; в)250 р.; г)50 р.?
Решение. Это задача на простой процентный рост.
к = а∙( 1+ ), к = а +
, к - а = , а·р·п = (к-а)·100, п= 
а) п = 
=5(мес.); б)п = 
=10(мес.);
в)п= 
=15(мес.); г) п = 
=19(мес).