Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы и технологии» Бийск (стр. 2 из 3)
Модуль 1 – Логика высказываний. Логика высказываний является фундаментом математической логики. Основным объектом рассмотрения в ней является высказывание. Все научные знания (законы и явления физики, химии, биологии и др., математические теоремы), события повседневной жизни, ситуации, возникающие в экономике и процессах управления, формулируются в виде высказываний, относительно которых мы должны знать, истинны они или ложны, т.е. знать их истинностные значения.
Модуль 2 – Логика предикатов. Логика предикатов представляет собой разитие логики высказываний. С помощью формул логики высказываний можно описать и исследовать структуру сложных высказываний, установить их истинность или ложность в зависимости от истинности или ложности входящих в них простых высказываний. Понятие предиката используется для описания внутренней логической структуры простых высказываний, не содержащих связок. С помощью логических связок предикаты могут объединяться в разнообразные логические формулы. Исследование предикатных формул и способов установления их истинности является основным предметом логики предикатов. Логика предикатов вместе с входящей в нее логикой высказываний является основой логического языка математики. С ее помощью удается формализовать и точно исследовать основные методы построения математических теорий. В этой связи логика предикатов является важным средством построения развитых логических языков и формальных систем.
Для построения логики высказываний и логики предикатов существует два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления (рисунок 2). Между основными понятиями этих языков существует взнаимно однозначное соответствие. Оно обеспечивается в конечном итоге единством законов логики, лежащих в основе допустимых преобразований.
Модуль 3 – Теория алгоритмов. Основным объектом рассмотрения является алгоритм. Теория алгоритмов не учит «составлять» алгоритмы. Основная задача классической теории алгоритмов – это ответ на вопрос: «Можно ли вообще для задач данного типа построить алгоритм?». Это связано с тем, что, во-первых, не для всех задач возможно создать алгоритмы их решения. Во-вторых, чтобы сделать математически строгий вывод о невозможности построить алгоритм, нужно иметь строгое (формальное) определение самого алгоритма. Но понятие алгоритма относится к основным неопределяемым понятиям (понимать понимаем, а сказать не можем). Поэтому его заменили строго формализованными математическими моделями. Среди них самыми известными являются рекурсивные функции и машины Тьюринга (рисунок 3). Эти математические модели, выступающие в роли «конкретизаций» понятия алгоритма, изучаются в третьем модуле курса.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов» имеет практическую часть (практические занятия – 17 часов), на самостоятельную работу студентов специальности «Прикладная информатика в экономике» отводится 51 час, специальности «Информационные системы и технологии» – 34 часа.
Итоговая аттестация знаний студентов по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов» осуществляется во время зачета по завершению семестра.
2 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Учебным планом по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов» для студентов предусмотрено участие в лекциях, практических занятиях. В течение семестра студентам предлагается два теста текущего контроля знаний. Завершающим этапом изучения дисциплины является сдача зачета. Организация самостоятельной работы по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов» подробно изложена в [11].
2.1 Лекции и практические занятия
Основной составной частью учебного процесса в преподавании дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» студентам дневной формы обучения являются лекции и практические занятия. Очевидно, что студенты, активно участвующие в этих занятиях, способны успешнее освоить предмет.
Все лекции студентам необходимо конспектировать. В конспект рекомендуется выписывать определения, формулировки и доказательства теорем, формулы и т.п. На полях конспекта следует помечать вопросы, выделенные студентом для консультации с преподавателем. Выводы, полученные в виде формул, а также алгоритмы решения тех или иных классов задач дискретной математики рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Полезно составить краткий справочник, содержащий определения важнейших понятий и наиболее часто употребляемые формулы дисциплины. К каждой лекции следует разобрать материал предыдущей лекции. Ряд вопросов дисциплины вынесен на самостоятельное изучение. Такое задание требует оперативного выполнения. В конспекте лекций необходимо оставить место для освещения упомянутых вопросов.
На практических занятиях подробно рассматриваются основные
вопросы дисциплины, разбираются основные типы задач. К каждому практическому занятию следует заранее самостоятельно выполнить домашнее задание и выучить лекционный материал к следующей теме. Систематическое выполнение домашних заданий обязательно и является важным фактором, способствующим успешному усвоению дисциплины.
2.2 Чтение учебника и конспекта лекций
В настоящее время имеется достаточно большое количество литературы по математической логике и теории алгоритмов. Поскольку в данном случае курс предназначен специалистам в области информационных технологий, в первую очередь, можно порекомендовать учебные пособия [1-4], а также [7, 8].
Изучая материал по учебнику или конспекту лекций, следует переходить к следующему вопросу только в том случае, когда хорошо усвоен предыдущий вопрос. При этом необходимо воспроизводить на бумаге все рассуждения, как имеющиеся, так и пропущенные в силу их простоты.
Особое внимание следует обращать на определение основных понятий дисциплины. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют понятия, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. Это является одним из важных условий усвоения дисциплины.
Умение студентов решать задачи по математической логике и теории алгоритмов является залогом успешного усвоения дисциплин информационного блока. Однако в процессе изучения математической логики студенты сталкиваются с рядом трудностей.
Первая из них состоит в том, что студенту, начинающему изучать алгебру логики, не до конца понятен смысл применения логической связки «импликация», с помощью которой из двух исходных высказываний (посылки и следствия) получается высказывание, ложное только в том случае, когда посылка истинна, а следствие ложно. При обсуждении импликации рассмотрим следующий пример. Даны простые высказывания: «данный четырехугольник – квадрат» (А) и «около данного четырехугольника можно описать окружность» (В) и составное высказывание
, понимаемое как «если данный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность». Существуют три набора значений высказываний А и В, при которых высказывание истинно:а) А истинно и В истинно, то есть данный четырехугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
б) А ложно и В истинно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника);
в) A ложно и B ложно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.
Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.
В обычной речи связка «если ..., то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не следует смущаться «бессмысленностью» импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, таким истинным высказыванием, как «если 2∙2=5, то Москва является столицей России». С точки зрения обыденной логики такая ситуация целиком абсурдна, но это мнение возникает в силу того, что человеческий разум пытается, в первую очередь, придать импликации смысл причинной логической связи, т.е. подразумевается, что заключение может быть выведено из посылки на основании каких-то логических рассуждений.
Абсолютная чужеродность посылки и заключения оставляет лишь одну возможность – руководствоваться формальным определением импликации. Можно также сказать, что формальное определение импликации гораздо ближе искусственному интеллекту, чем традиционному мышлению человека, поскольку импликация может быть реализована в операторах условного перехода в программировании, а также в некоторых компьютерных микросхемах. Тем удивительнее тот факт, что еще в глубокой древности Аристотель уже знал, что импликация истинна в трех из четырех случаев.