На основе баллов, выставленных за выполнение всех заданий экзаменационной работы, осуществлялся перевод в отметки по пятибалльной шкале. В таблице 3 отражены соотношения между первичными баллами и отметками по пятибалльной системе, рекомендованные в 2008 году.
Таблица 3
| Школьная отметка | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Первичный балл | 0 – 5 | 6 – 8 | 9 – 14 | 15 – 20 |
При разработке рекомендаций по интерпретации результатов экзамена была учтена и возможность использования его результатов при приеме учащихся в профильные классы старшей школы.
Для продолжения обучения в профильных классах старшей ступени обучения рекомендовано было считать достаточными получение 15 баллов.
При желании продолжить обучение в старшем звене в классе с углубленным изучением математики необходимо было набрать не менее 16 баллов за работу, не менее одного из которых должно было быть начислено за решение самого сложного задания работы – задачи 15.
Корректировка модели экзамена в 2009 году
При большом объеме работы государственной итоговой аттестации по геометрии и ограниченности времени на её выполнение у сильных учащихся, как правило, возникает проблема скорости решения геометрических задач, три из которых требуют записи развернутого решения. Поэтому при сохранении общего числа заданий в работе принято решение увеличить до 180 минут время, отводимое на её выполнение.
Также в 2009 году в экзаменационной работе будет изменено соотношение заданий с выбором ответа и с кратким ответом в первой части работы (2008 год – 5 заданий с выбором ответа, 3 задания с кратким ответом; 2009 год – по 4 задания каждого типа).
Основные результаты экзамена в 2008 году
В части 1 работы проверялись умения решать типичные задачи, применяя 1-2 геометрических факта и несложные вычисления. В частности, в ходе решения задач использовались:
- свойства углов при параллельных прямых и секущей;
- признаки равенства треугольников;
- определение и свойство средней линии треугольника;
- теорема Пифагора;
- определение синуса угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).
- теорема косинусов (решение косоугольных треугольников);
- формула площади параллелограмма;
- определение трапеции;
- определение (или свойство) касательной к окружности;
- соотношение между величинами соответствующих центрального и вписанного углов.
При выполнении заданий этой части работы учащиеся показывают достаточно высокие результаты. По всем задачам базового уровня, проверявшим указанные выше элементы содержания (кроме задачи на теорему косинусов), получено более 80% верных ответов, и только задача на теорему косинусов оказалась для учащихся более трудной. Несмотря на то, что она была дана в самой простой постановке, часть учащихся с ней не справилась. Этот материал традиционно хуже усваивается. Но и по этой задаче в целом получен неплохой результат: с ней справились более 65% экзаменуемых (по имеющейся выборке).
Заметим, что объективно задачи базового уровня могут представлять для учащихся бόльшую или меньшую трудность в зависимости от проверяемых элементов содержания (от степени их усвоенности) и от числа шагов решения (т. е. от количества проверяемых элементов содержания). В первый экспериментальный год проведения государственной итоговой аттестации по геометрии почти все задания базового уровня были представлены достаточно простыми задачами с решением в два шага, один из которых был весьма тривиальным. Например, нужно было применить определение параллелограмма для выявления параллельных прямых и свойство углов при параллельных прямых и секущей для вычисления искомого угла. При составлении экзаменационных работ в последующие годы целесообразно несколько увеличить сложность задач базового уровня.
В части 2 работы проверялись умения решать несколько более трудные задачи, чем задачи базового уровня, как правило, требующие применения 1-2 геометрических фактов в измененной ситуации. В ходе решения этих задач проверялись умения применять следующие геометрические факты:
- определение биссектрисы угла;
- признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых и секущей;
- признаки равенства треугольников;
- признаки подобия треугольников и пропорциональность сторон подобных треугольников;
- признак равнобедренного треугольника;
- теорема Пифагора;
- свойства равнобедренной трапеции;
- площадь трапеции;
- определение и свойства правильного многоугольника;
- скалярное произведение векторов.
Лучше всего учащиеся справились с задачей на подобие треугольников (с кратким ответом). Эту задачу можно было бы отнести к задачам базового уровня, если бы не тот факт, что она была дана в нетипичной для школьного курса постановке и предполагала работу с текстом, связанным с измерениями на местности. Интересно, что данные в этих задачах содержали десятичные дроби, причем в том случае, когда десятичных дробей в условии было больше, результаты выполнения задания были заметно ниже, что, видимо, связано с вычислительными ошибками.
Неплохие результаты (около 60% верных ответов) получены по задаче (с кратким ответом) на нахождение площади равнобедренной трапеции по известным диагонали и высоте. Ее решение состояло из двух шагов: применения теоремы Пифагора и формулы площади трапеции.
Для рационального решения задачи нужно было рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является диагональ данной трапеции, а одним из катетов – высота трапеции. Как правило, при решении таких задач основную трудность для учащихся составляет использование того факта, что в данной конфигурации отрезок, отсекаемый на большем основании высотой трапеции, равен ее средней линии или полусумме оснований. Если же указанный факт не применять, то решение становится значительно более длинным и трудным.
Решение остальных задач повышенного уровня вызвало определенные трудности у многих учащихся.
В задаче на доказательство (с развернутым ответом) требовалось доказать два утверждения. Верное доказательство каждого из них оценивалось одним баллом. Для решения задач нужно было использовать свойства параллелограмма, определение биссектрисы угла, свойства углов при параллельных прямых и секущей и признаки равенства треугольников. Различались задачи требованием: доказать параллельность прямых, либо доказать, что указанный в условии треугольник – равнобедренный. Более легкой, чем задача на применение признака параллельности прямых, для учащихся оказалась задача, в решении которой применялся признак равнобедренного треугольника. Однако и с более легкой задачей полностью справились (получили 2 балла) менее половины учащихся. Сами задачи были несложными, но в некоторых случаях доказательство второго утверждения было значительно проще первого. Учащиеся, привыкшие выполнять работу по порядку, не производя оценку уровня сложности предлагаемых заданий, запутались в доказательстве первого утверждения и даже не приступили к рассмотрению второго. А основные трудности, скорее всего, были связаны с тем, что ситуация, представленная в задаче, не является типичной и хорошо отрабатываемой в ходе изучения курса геометрии, а также с тем, что грамотно записать доказательные рассуждения многие учащиеся просто не умеют.
В задаче на векторы (с кратким ответом) требовалось найти скалярное произведение двух векторов с общим началом. Начало и концы векторов совпадали с вершинами ромба, заданного стороной и тупым углом в 120°. Очевидно, что данная задача представляла не самый сложный случай, однако, с ней справились меньше 40% учащихся. Тема «Векторы» часто вызывает затруднения у учащихся, особенно, если речь идет не о прямом применении сведений о векторах. Заметим, что решение этой задачи содержало меньшее число шагов, чем задачи, по которым получены более высокие результаты. Поэтому можно сделать вывод о том, что формированию у учащихся умения решать задачи повышенного уровня при изучении темы «Векторы» уделяется меньше внимания, чем по большинству других тем.
При решении задачи на правильные многоугольники (с множественным выбором ответов) необходимо было установить, какими из приведенных в условии пяти свойств обладает указанный правильный многоугольник. При этом некоторые из перечисленных утверждений достаточно очевидны, если сформированы хотя бы зрительные представления о рассматриваемом многоугольнике, а для определения истинности остальных необходимо дополнительно провести вычисления или доказательные рассуждения.
«Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Каждый из углов правильного девятиугольника — тупой.
2) Каждый из углов правильного девятиугольника — острый.
3) Центр правильного девятиугольника – точка пересечения его диагоналей.
4) Радиус окружности, вписанной в правильный девятиугольник, меньше радиуса окружности, описанной около этого правильного девятиугольника.
5) Радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника, больше его стороны»
Решение этих задач оценивалось 2 баллами, если указаны все 3 верных ответа и при этом не указаны неверные ответы; 1 баллом – если правильно указаны не менее 2 верных ответов и при этом указано не более одного неверного ответа; 0 баллов – во всех остальных случаях. В разных вариантах речь шла о разных многоугольниках. По этим задачам в разных вариантах смогли получить 1 балл примерно от половины до трех четвертей учащихся (они имеют представление о рассматриваемых правильных многоугольниках и их свойствах), Разница в результатах объясняется тем, что правильный четырехугольник лучше знаком учащимся, чем правильный девятиугольник. Однако полностью верно решили эти задачи, т. е. получили 2 балла, независимо от рассматриваемого многоугольника менее 5% учащихся. Конечно, учащимся нужно было решить пять несложных задач. Но такая форма задания для них непривычна, что и могло сказаться на результатах выполнения этого задания. Также могло сыграть роль и то обстоятельство, что традиционно в вариантах экзаменационных работ по математике для заданий с выбором и с кратким ответом верным может быть только один ответ. Вместе с тем столь низкие результаты связаны не столько с этими факторами, сколько с тем, что тема «Правильные многоугольники» зачастую излагается на уроках излишне формально, что не способствует формированию умений решать на этом материале задачи повышенного уровня, требующие некоторой гибкости мышления. То, что даже по поводу квадрата почти все ученики не смогли выбрать все верные ответы, говорит о том, что учащиеся не могут применить свои знания о правильных многоугольниках для ответа на достаточно простые, но нетипичные вопросы.