Методическое письмо Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании геометрии в общеобразовательных учреждениях (стр. 3 из 4)

Каждая из задач части 3 допускает несколько способов решений, различающихся использованием различных методов, и, соответственно, различной системой ссылок, но в любом случае носит комплексный характер и требует выполнения дополнительных построений.

Первая задача (ее полное и верное решение оценивалась двумя баллами) была связана с вычислением площади треугольника, в котором сначала нужно было найти недостающий для использования формулы элемент.

Решение задачи требовало применения двух-трех известных учащимся из практики решения задач геометрических фактов в незнакомой ситуации, которая, скорее всего, не только не отрабатывалась на уроках геометрии, но даже не встречалась учащимся в задачах. Как показывают результаты решения этих задач, до 10% учащихся смогли справиться с решением геометрических задач такого уровня сложности, при этом безошибочно выполнили вычисления 4,5-7% учащихся. Это говорит о том, что даже не очень сложные задачи, в решении которых нужно применить несколько геометрических фактов и приемов в незнакомой ситуации, посильны только самым подготовленным и способным учащимся.

Вторая задача (ее полное и верное решение оценивалась тремя баллами) была ориентирована на проверку творческих возможностей выпускников основной школы. Ее решение требует поиска способа решения, состоящего из достаточно большого числа шагов, при этом необходимо проведение дополнительных построений и рассмотрение комбинации геометрических фигур.

Пример 1. «В треугольнике АВС проведены высоты АN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что

, а площадь треугольника МNК равна 4.»

Пример 2. «Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что ÐВАС=45°, АВ=12, СН=6.»

С задачей справились (получили 2 и 3 балла) около 3% учащихся, при этом привели достаточно полное обоснование около 2% учащихся. Это говорит о том, что даже для сильных учащихся задачи, требующие очень хорошей ориентации в свойствах геометрических фигур и большой самостоятельности мышления, представляют значительную трудность.

Рекомендации по совершенствованию методики преподавания геометрии с учетом результатов экзамена

Ниже даны рекомендации, целью которых является более эффективное формирование у школьников умений решать геометрические задачи.

Как было сказано выше, учащиеся в целом показывают хорошие результаты при выполнении заданий базового уровня. Вместе с тем, следует отметить, что не все сдававшие экзамен смогли справиться даже с самыми простыми заданиями. Так, больше 10% учащихся не справились с задачами на трапецию (применение свойства углов при параллельных прямых и секущей), на параллелограмм (вычисление площади), на вписанные и центральные углы. Более 20% учащихся не справились с задачей на прямое применение теоремы косинусов. Причем, если с первыми из указанных задач неудачу потерпели только те учащиеся, которые получили «3» и «2», то с задачей на теорему косинусов не справились более 15% тех, кто получил оценку «4», т. е. более сильных учеников. Поэтому в ходе обучения геометрии необходимо обратить самое серьезное внимание на обеспечение усвоения всеми учащимися минимума содержания на базовом уровне.

Понятно, что этап формирования базовых умений у менее подготовленных школьников займет больше времени, чем потребуется более подготовленным учащимся для усвоения материала на базовом уровне. Поэтому в арсенале учителя должны быть средства и методы, позволяющие обеспечить дифференцированный подход к учащимся, организовать для слабых учащихся возможность более длительной отработки умений в ходе решения простых задач, а для более сильных – достаточно быстрый переход к решению задач повышенного уровня. Нужно заметить, что задач первичного закрепления, да и простых задач в учебниках и во многих дидактических материалах очень мало. Поэтому при выборе дидактических пособий (задачников, рабочих тетрадей, карточек и т.п.) следует обращать внимание на наличие, в том числе, и элементарных заданий на закрепление изученного материала. Целесообразно также увеличить и общее число рассматриваемых на уроке задач, эффективно используя прием устного решения задач по готовым чертежам.

К сожалению, в традициях устного экзамена по геометрии за курс основной школы существовала возможность получения удовлетворительной отметки лишь по результатам выполнения теоретической части билета при отсутствии или неправильном выполнении его практической части. В условиях прохождения итоговой аттестации в новой форме подобная практика исключена. А потому, учащиеся должны быть заранее осведомлены о том, что они не смогут быть положительно аттестованы, если не научатся самостоятельно решать задачи, в которых требуется применять небольшое число элементов содержания, овладение которыми показывает усвоение материала на базовом уровне. Желательно при изучении каждой темы ознакомить учащихся с требованиями к обязательному уровню подготовки. Например, указать, какие задачи (в учебнике, дидактическом пособии) они должны уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Можно предложить учащимся список таких задач, например, в качестве заданий для самопроверки достижения обязательной подготовки по теме.

Заметим, что формирование умений решать задачи базового уровня – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне. Это обязательная часть учебного процесса, недооценивать которую нельзя. Только после этого этапа можно переходить формированию умений решать геометрические задачи повышенного и высокого уровней.

Анализ данных о выполнении заданий повышенного уровня сложности показывает, что они вызывают трудности у значительного числа учащихся, причем, не только у слабых, но и у учащихся, продемонстрировавших при выполнении всей работы хороший уровень математической подготовкой. В числе причин неуспеха в решении таких задач можно выделить две основных.

Во-первых, для решения задач повышенного уровня нужно применить небольшое число геометрических фактов, но в такой ситуации, которую обычно называют измененной, т. е. в ситуации, не всегда отрабатываемой на уроках геометрии. Часть учащихся, даже усвоивших определенные элементы содержания, «не узнает» в представленной постановке задачи возможность применения этих элементов.

Во-вторых, при изучении некоторых разделов курса геометрии особенно проявляется слишком формальное усвоение материала учащимися. Результаты выполнения заданий повышенного уровня экзаменационной работы 2008 года выявили два таких раздела: «Векторы» и «Правильные многоугольники».

Таким образом, для того, чтобы быстро и успешно справляться с решением задач повышенного уровня, необходимо выполнение ряда условий. Одним из важнейших условий является уверенное владение свойствами ряда «опорных» геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах. Другим, не менее важным, является умение проанализировать предлагаемую в задаче фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами: их взаимное расположение, метрические соотношения.

Формирование представлений об опорных конфигурациях должно происходить на протяжении всего процесса изучения курса геометрии. При этом целесообразно обращать внимание учащихся на такие конфигурации, решать задачи на доказательство свойств соответствующих фигур, а также задачи на применение доказанных свойств. Так, например, при изучении курса планиметрии, помимо свойств равнобедренного, правильного, прямоугольного треугольников, полезно рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник; прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе; параллелограмм (трапеция или прямоугольник), в котором проведена биссектриса одного из углов и т.п.

По мере изучения материала знания учащихся о свойствах рассматриваемых фигур пополняются. Например, о равнобедренном треугольнике сначала известно, что две его стороны равны, углы при основании равны, медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, медианы, проведенные к боковым сторонам, равны и т.д. Затем в связи с изучением теоремы Пифагора устанавливается связь между боковой стороной, основанием и высотой к основанию; в связи с изучением окружности – отмечается положение центров вписанной и описанной окружностей на высоте к основанию. При обсуждении плана решения задач полезно вспоминать набор всех известных на данный момент свойств равнобедренного треугольника с целью выбора тех из них, которые нужны для решения данной конкретной задачи.