2) Серия ошибок базового уровня при решении иррациональных уравнений, которые проявляются в незнании формулы разложения квадратного трехчлена на множители, незнании свойств корня и области допустимых значений выражений, содержащих знак корня, неправильных вычислениях и т.д.
Функции
Задания на проверку функциональных представлений учащихся традиционно представлены задачами на: нахождение области определения и значений функций, четности (нечетности) функций; промежутков возрастания и убывания по графику; на определение точек максимума (минимума) и наибольших (наименьших) значений функций. Как и в прошлом году во 2 часть включены задания повышенного уровня сложности на проверку понимания и применения определения периодической функции, что позволяет проверить уровень математической компетентности ученика. Как и в прошлые годы предлагаются задания на использование связи между свойствами функции и ее производной, в которых необходимо перевести условие с «графического языка» на аналитический язык, чтобы составить математическую модель предложенной в задаче ситуации, что также позволяет оценить уровень математической компетентности ученика.
Типичные ошибки, которые допускают учащиеся при выполнении заданий этой содержательной линии:
1) Незнание области определения, множества значений элементарных функций (дробно-рациональной, квадратичной, логарифмической и т.д.), их свойств и связанных с ними алгоритмов.
2) Ошибки при вычислении производной функции.
3) Ошибки при исследовании функции с помощью производной (В5). При выполнении этих заданий проверяется, может ли ученик установить связь между характером монотонности функции и знаком производной или между сменой знака производной и наличием точки максимума (минимума), и, как следствие наибольшего (наименьшего) значения функции.
Типичные ошибки при решении заданий повышенного уровня:
1) Первая ошибка связана с неумением школьников переформулировать задание с необычным условием.
2) Ошибки при решении неравенства с модулем.
3) Незнание понятия «наименьшее (наибольшее)» значение функции. Большинство учащихся допускают ошибку при записи ответа (путают точку максимума (минимума) с наименьшим (наибольшим) значением функции). Некоторые ограничиваются нахождением значений функции на концах отрезка и выбором наибольшего из полученных чисел.
4) И, наконец, серия ошибок базового уровня, которые проявляются в неправильном вычислении производной сложной функции, при выполнении тождественных преобразований.
Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин
При сдаче ЕГЭ геометрические задачи позволяют выявить наиболее подготовленных по математике учащихся. Вместе с тем традиционно низкие результаты решения геометрических задач говорят о неблагополучном положении с геометрической подготовкой школьников, что требует анализа причин таких результатов.
Это объясняется, прежде всего, тем, что все геометрические задачи в вариантах КИМ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. В большинстве задач применяются теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса острого угла, теорема косинусов (реже – синусов), требуется вычислить элементы подобных треугольников. Поэтому, несмотря на то, что задачи вычислительные, для их решения важно также твердое владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур, применять эти свойства в ходе вычислений, а также для распознавания и построения заданных конфигураций. Для успешного решения геометрических задач нужно уметь выделять стандартные конфигурации и применять их свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии.
В зависимости от способа решения конкретной задачи нужно уметь применить 1–2 факта из следующего перечня:
· признаки подобия треугольников и следующая из подобия пропорциональность соответствующих сторон;
· метрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
· формулы площади треугольника;
· отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту;
· теорема Пифагора;
· определение синуса и косинуса, угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).
В процессе решения геометрических задач повышенного уровня сложности «ключевым моментом» является использование определения или свойства фигуры в несколько измененной ситуации. Поэтому учащийся должен обладать достаточно гибким мышлением, позволяющим осуществлять перенос стандартных умений в измененную ситуацию. Решение каждой задачи предполагает комплексное выполнение, как правило, 1–2 основных шагов и применения 1-2 фактов, обеспечивающих нахождение искомых величин.
Для обеспечения успешного выполнения учащимися геометрических заданий повышенного уровня сложности, которые с 2009 года являются обязательными для решения, чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:
· обеспечить усвоение учащимися базовых знаний, формирование у них умений применять эти знания в стандартной ситуации;
· сформировать системные знания о геометрических фигурах, которые изучаются в школьном курсе;
· обеспечить знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
· развивать гибкость мышления, способность анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
Традиционно низкие результаты ЕГЭ свидетельствуют, прежде всего, о том, что в процессе обучения не уделяется должное внимание отработке базовых умений. В этой связи учителями высказывается, по-видимому, справедливое суждение о недостаточном количестве часов, отводимых в базисном учебном плане старшей школы на математику. Это, по их мнению, приводит к тому, что отдельным учащимся не хватает отводимого учебного времени на прочное усвоение изучаемых тем.Вместе с тем наблюдения и анализ уроков позволяют выявить еще нереализованные возможности для совершенствования преподавания в рамках отведенного времени. Хотя в педагогической и методической литературе много говорят об индивидуализации обучения, об учете готовности ученика к восприятию материала, о дозировании заданий с учетом его потребностей и возможностей, но традиционно урок готовится в расчете на некоторого среднего школьника, что и приводит к столь невысоким результатам.
И, тем не менее, несмотря на все индивидуальные отличия учащихся, существует нечто общее в организации учебного процесса по математике.
Например, один из важных моментов - отбор содержания изучаемого материала. Как показывают наблюдения, учителя не всегда правильно выбирают материал, необходимый для полного, а главное, качественного изучения темы. В одних случаях перегружается теоретическая составляющая урока, в других – сообщаются только формулировки теорем и следствий из них и вовсе не рассматриваются их обоснования, а главное практическое применение.
И самое главное, не проводится работа по систематизации имеющихся и обобщению новых и ранее полученных знаний, не всегда расставляются акценты в значимости изучаемого материала для решения конкретных задач по теме.Следствием этого является низкий уровень сформированности у учащихся умения самостоятельно добывать знания и использовать имеющиеся знания в измененной ситуации.Учителя тратят очень много времени на то, чтобы выучить весь теоретический материал, разбивая его на небольшие блоки. В то время как больших результатов можно добиться, научив школьников на первом этапе пользоваться этими формулами, а при итоговом повторении обратить внимание на те, которые требуется запомнить. Таким образом, в настоящее время от учителя требуется не столько объяснение нового материала, обеспечивающее понимание каждым учеником того, что подлежит усвоению и как следует работать с этим материалом, но и организация работы, в большей степени самостоятельной, по научению учащихся использованию его в практической работе.В настоящее время достаточно популярно проведение такого закрепления изучаемого материала, как решение большого числа однотипных упражнений с целью «отработки навыка решения». С появлением ГИА и ЕГЭ появился и «новый» прием работы в выпускных классах в конце учебного года (иногда уже в феврале) – постоянное (в некоторых школах, еженедельное) выполнение работ, представляющих собой варианты ГИА и ЕГЭ. Большинство учителей считают, что полноценное знание достигается многократными однотипными тренировками Правда, они же вынуждены констатировать, что однотипные задачи сильным ученикам скучны и неинтересны. Давно известно, что однотипность упражнений при обучении математике приводит к механическому, бездумному решению известных задач. В то время как задача, имеющая всего лишь другую формулировку, становится новой и не поддается решению. Часты случаи, когда учащиеся решающие неплохо однотипные примеры и задачи по повторенной теме, а спустя некоторое время не могут решить точно такие же. Подводя итоги можно утверждать следующее:1. Механизм проведения итоговой аттестации в форме ГИА и ЕГЭ позволяет не только констатировать достижение значительной частью выпускников российских школ большинства требований стандарта, но и выявить серьезные пробелы в работе педагогов с той частью учащихся, которая не овладевает этими требованиями.2. Среди нереализованных педагогами возможностей повышения качества математического образования главным является совершенствование подготовки и проведения урока математики на основе более активного внедрения в практику работы школы принципов индивидуализации и дифференциации обучения; применения активных форм организации деятельности школьников; организации самостоятельной работы учащихся по усвоению изучаемого материала; внедрения проверенных и признанных на практике достижений в области педагогической психологии.3. Проведение итоговой аттестации в форме ГИА и ЕГЭ требует от педагогов изменения методики преподавания математики, а потому проблемы, возникающие в подготовке как слабых, так и сильных учащихся, есть следствие недостаточной реализации потенциала современного урока.В заключении предлагаем учителю список литературы, который может помочь при организации работы с учениками не только с целью подготовки их к сдаче ГИА и ЕГЭ, но и для расширения и систематизации математических знаний.