Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе стало обязательным после утверждения федерального компонента государственного образовательного стандарта 2004 года [2] и базисного учебного плана 2004 года [3]. Конкретизация содержания этого раздела, и примерное распределение учебных часов приведены в примерных программах [4].
На практике преподавание данного раздела зачастую не отвечает требованиям стандарта. Причин здесь несколько.
1) До сих пор нет однозначного подхода к преподаванию вероятностно-статистической линии в общеобразовательной школе. Авторы учебников излагают учебный материал по-разному. Содержание и формулировки тем в некоторых УМК не соответствует действующему стандарту. Например, такое несоответствие есть в учебнике «Математика» А. Г. Мордковича (10-11класс) 2009 года издания.
2) Существует серьезное расхождение в количестве часов, рекомендуемых на изучение вероятностно-статистической линии между примерной программой [4] и авторскими тематическими планами, что влияет на качество усвоения материала. Тематическое планирование к выше названному учебнику «Математика» А.Г. Мордковича серьезно расходится по количеству часов, отводимых на изучение стохастики, с примерной программой [4].
3) До последнего времени при проведении итоговой аттестации обучающихся задания по разделу «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» отсутствовали в КИМах, поэтому на практике изучение данного учебного материала проводилось по остаточному принципу. В 2010 году задачи вероятностно-статистической линии были включены в экспериментальном порядке в КИМы Государственной итоговой аттестации за курс математики в 9 классе. Анализ результатов ГИА и репетиционных экзаменационных испытаний показал, что по сравнению с другими практико-ориентированными заданиями по темам, подвергнутым контролю, задания этого раздела были выполнены хуже всего. Необходимо отметить, что в 2011 году проверка подготовки обучающихся по вероятностно-статистической линии входит в качестве обязательного экзаменационного материала за курс основной школы. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников по математике в 2012 году указано, что выпускник должен уметь:
• работать со статистической информацией;
• находить частоту и вероятность случайных событий;
• решать комбинаторные задачи;
• сравнивать шансы, оценивать вероятность. [15]
Начиная с 2012 года, материал основной демоверсии ЕГЭ будет дополнен разделом «Элементы теории вероятностей и статистики» (спецификация, кодификатор[14].)
Обращаем внимание, что в 2011/2012 учебном году учебный материал по изучению вероятностно-статистической линии должен быть обязательно включен в программы по математике. На старшей ступени общего образования содержание и объем изучаемого материала зависит от выбора базового или профильного уровня изучения математики.
При разработке рабочих программ важно обратить внимание на соответствие содержания изучаемого учебного материала содержательным компонентам действующего стандарта [2]. Рекомендуем придерживаться объемов времени для изучения этого раздела, указанных в примерных программах по математике [4]. В приложении 2 перечисляются содержательные компоненты действующего стандарта по математике на ступенях основного общего образования для реализации раздела «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» и на ступени среднего (полного) общего образования для реализации раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» на базовом и профильном уровне; указаны требования к уровню подготовки выпускников. Приложение 3 содержит рекомендуемые в примерных программах основного общего и среднего (полного) общего образования объемы учебных часов на изучение вероятностно-статистической линии.
Включение задач вероятностно-статистической линии в КИМы, ГИА и ЕГЭ за курс основной и средней школы в 2012 году актуализирует регулярное изучение данного раздела (на протяжении всего курса математики), организацию и пристальный контроль этого изучения со стороны методических служб и администраций образовательных учреждений. Для диагностики готовности обучающихся 9 и 11 классов к прохождению итоговой аттестации по этому разделу в областные диагностические работы по математике будут включены задания вероятностно-статистической линии.
3.2. Общий подход к преподаванию
вероятностно-статистической линии
При разработке общего подхода к преподаванию вероятностно-статистической линии в школе необходимо руководствоваться следующими положениями:
· содержание материала, обязательно изучаемого в рамках данной линии в средней школе, определяется требованиями государственного стандарта по математике;
· в результате изучения вероятностно-статистической линии должно быть сформировано законченное элементарное представление о теории вероятностей и статистике и их тесной взаимосвязи;
· изучение стохастической линии целесообразнее начинать со статистического материала и излагать весь последующий материал индуктивно;
· необходимо рассмотреть различные определения вероятности: классическое, статистическое и геометрическое; при введении каждого из определений необходимо обращать внимание обучающихся на его недостатки и области возможного применения;
· необходимо подчеркивать тесную связь вероятностно-статистической линии разделов математики с окружающим миром как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов;
· разумно избегать излишнего математического формализма;
· иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами, особо выделяя среди них задачи практического характера, устанавливающие взаимосвязь изучаемых фактов и явлений с жизнью, опытом обучающихся, стараться не использовать утратившие свою актуальность для общества примеры и задачи, в том числе задачи, связанные с азартными играми.
В результате обучения стохастике в школе должна быть сформирована вероятностная составляющая образовательной компетентности, которая предполагает, в частности:
· способность применять классическую, статистическую и геометрическую
модели вероятности при решении прикладных и практических задач;
· умение прогнозировать наступление событий на основе вероятностно-
статистических методов;
· использовать полученные умения для решения задач в смежных дисциплинах.
3.3. Рекомендуемая последовательность изучения материала
и распределение часов
Образовательным учреждениям рекомендовано введение стохастической линии в 5-6 классах. Учебники по математике, начиная с 2006 года издания, содержат данный материал. В работе можно также использовать пособия, содержащие методические рекомендации по организации учебного процесса и примерное планирование. Следует учитывать, что в современных УМК существуют два подхода к реализации этого учебного материала: так называемый «классический» и «статистический (частотный)». К примеру, УМК А. Г. Мордковича реализуют первый из выше названных, а УМК Г. В. Дорофеева второй подходы. Оба подхода имеют право на существование. Однако введение первоначального понятия вероятности на основе статистических наблюдений над реальными экспериментами позволяет начать знакомство с элементами теории вероятностей на интуитивном уровне, не делая основного упора на комбинаторику, что существенно расширяет круг задач и вопросов, доступных для рассмотрения, связывает базовые понятия теории вероятности с их действительным использованием на практике.
Более предпочтительна следующая последовательность изучения понятия вероятности: ввести и сформировать представление о статистической вероятности, отмечая неудобство использования такого определения и его явную неточность, перейти к изучению классической вероятности и в завершении рассмотреть геометрическую вероятность как способ решения проблемы конечности числа исходов в классической вероятностной схеме. Такая последовательность изучения не соответствует историческому развитию науки, но помогает избежать типичных ошибок и неверных представлений о вероятности.
Рекомендуем распределить изучаемый материал вероятностно-статистического раздела по классам следующим образом.
Таблица 2
| Основное общее образование «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» | ||
| Класс | Объем времени (в часах) | Содержание |
| 5 | Не менее 4 | представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков |
| 6 | 8 – 10 | Сбор и группировка статистических данных; наглядное представление статистической информации (представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков); понятие о случайном опыте и событии; достоверное и невозможное события; сравнение шансов; решение комбинаторных задач перебором вариантов; множество (элемент множества, подмножество, диаграммы Эйлера); операции над множествами |
| 7 | 9-11 | Статистические характеристики набора данных; понятие о статистическом выводе на основе выборки; понятие и примеры случайных событий; частота случайного события; комбинаторика (перебор вариантов; решение комбинаторных задач путем систематического перебора возможных вариантов) |
| 8 | 8-10 | Множество (элемент множества, подмножество, диаграммы Эйлера); операции над множествами; комбинаторика (перебор вариантов; правило суммы, умножения, решение комбинаторных задач путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правил суммы и умножения); частота и вероятность; равновозможные события и подсчет их вероятности |
| 9 | 12-15 | Комбинаторные задачи; перестановки, размещения, сочетания; вероятность случайных событий (вычисление частоты события с использованием собственных наблюдений и готовых статистических данных); классическое определение вероятности; нахождение вероятности случайных событий в простейших случаях; геометрическая вероятность |
| Среднее (полное) общее образование базовый уровень «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» | ||
| 10 | 12-15 | Комбинаторика (перестановки, размещения, сочетания); комбинаторное правило умножения, бином Ньютона; треугольник Паскаля; вероятность; статистическая вероятность; классическое определение вероятности; элементарные и сложные события; сумма и произведение случайных событий; вероятность суммы и произведения случайных событий; вероятность противоположного события; геометрическая вероятность |
| 11 | 10 | комбинаторные задачи; вероятность и статистическая частота наступления события; решение практических задач с применением вероятностных методов |
3. Выбор учебников и использование электронных образовательных ресурсов (ЭОР)