M. P. Galanin, A. P. Lototskii, A. S. Rodin (стр. 3 из 8)

.

Здесь

– мощность выделения энергии, включающая в себя джоулево тепло и источник тепла за счет вязкости.

3.3 Математическая модель упругопластического тела

Подходы, в которых лайнер рассматривается как упругое тело или как вязкая жидкость являются приближенными и не могут претендовать на физическую достоверность в силу того, что лента сделана из алюминия и нагрузки, испытываемые лайнером, заметно превышают предел текучести данного материала. Поэтому рассмотрен третий подход, в котором материал лайнера считается упругопластическим, для которого используется кривая деформирования, полученная в результате эксперимента.

В [4] проведен анализ течения лайнера в зоне неподвижных токопроводов (призм) и сделан вывод, что все растяжение ленты сосредоточено вблизи точек закрепления. Тем самым в лайнере возникают большие пластические деформации. Все дальнейшие рассуждения в данном параграфе основаны на теории больших упругопластических деформаций, описанной в [11].

Уравнения движения лайнера в приближении упругопластического материала имеют следующий вид (см. [9, 11]):

. (3.9)

В отличие от (3.6) уравнения (3.9) записаны относительно текущей лагранжевой системы координат (

- текущие лагранжевы координаты). В [11] такой подход назван UL (updated Lagrangian) подходом. Так как в каждый фиксированный момент времени UL- координаты совпадают с эйлеровыми координатами , разница между UL- и эйлеровыми подходами проявляется в использовании разных определений скоростей величин: при UL-подходе рассматриваются материальные производные, а при эйлеровом – локальные производные.

В (3.9)

- второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгоффа (тензор условных напряжений). Он связан с тензором истинных напряжений Коши и с тензором напряжений Лагранжа , использованном в (3.6), следующими выражениями:

,

,

где

- якобиан соответствующего преобразования координат.

Выбранная модель больших упругопластических деформаций основана на следующих предположениях (см. [9, 11]).

1) Тензор скорости деформаций

(с компонентами ) можно представить в виде суммы упругой и пластической составляющих:

.

2) Определяющее соотношение упругопластического тела имеет следующий вид:

, (3.10)

где

- производная Хилла тензора напряжений Коши, - тензор коэффициентов жесткости для изотропного тела, знак «:» означает двойную сумму по повторяющимся индексам тензоров в индексной форме записи данного выражения.

В отличие от определяющего соотношения термоупругого тела (3.7), в котором тензор напряжений непосредственно связан с тензором деформаций, в (3.10) задана связь производных соответствующих тензоров.

3) Пластическая составляющая тензора скоростей деформаций определяется по ассоциативному закону пластического течения:

,

где

- некоторая неизвестная функция (в расчетах использован метод дополнительных деформаций, не требующий нахождения в явном виде), - функция текучести, - вектор в пространстве компонент девиатора тензора напряжений, направленный по нормали к поверхности текучести.

Считаем, что материал лайнера обладает изотропным упрочнением. Поэтому в качестве функции текучести выбрана следующая функция:

,

где

- второй инвариант девиатора тензора напряжений ( ), - параметр упрочнения, характеризующий величину накопленных пластических деформации, - предел текучести материала.

На текущем этапе данная модель не включает в себя эффекты, связанные с изменением температуры.

3.5 Постановка граничных условий для лайнера

В качестве граничных условий на поверхности лайнера выбрано условие свободной границы. В различных моделях оно имеет следующий вид:

- для термоупругого тела (

- нормаль в общей лагранжевой системе координат);

- для вязкой жидкости (

- тензор вязких напряжений, включающий в себя давление, - нормаль в эйлеровой системе координат);

- для упругопластического тела (

- нормаль в текущей лагранжевой системе координат).

На границе

лента зафиксирована: , а на границе , учитывая, что рассматривается половина симметричной области, поставлено условие (в обоих случаях граничным условием для второй компоненты скорости является условие свободной границы).

Наибольшую сложность представляет моделирование контакта ленты лайнера с призмами (призмы считаются абсолютно твердыми телами, поэтому взаимного проникновения материалов происходить не может).

В данной работе рассмотрено 2 варианта контактных условий:

1) в точках контакта лайнера с призмами поставлено условие прилипания:

.

2) в точках контакта лайнер движется по призме и это движение задается законом трения Кулона (см. [11]):

,

где

- распределенные контактные нормальные силы (они могут быть только сжимающими),

- распределенные контактные касательные силы,

- касательный вектор к поверхности контакта, - вектор контактных сил (поверхностных сил в точке контакта), - динамический коэффициент трения.