M. P. Galanin, A. P. Lototskii, A. S. Rodin (стр. 4 из 8)

В обоих вариантах не рассматривается отрыв ленты от призмы: если данная точка лайнера вступила в контакт с призмой, то она остается контактирующей до конца расчета.

4. Численная модель

Для решения задачи использован метод конечных элементов с элементами первого порядка. Предварительно проведена триангуляция области. Так как напряженность магнитного поля в диэлектрике выражается через токи, то сетки вводятся только в проводниках: индукторе, лайнере и в проводящих частях призм. Сетки построены с помощью программы Gridder2D (более подробные сведения о данном программном комплексе изложены в [12]). Поскольку лайнер движется, то точки соответствующей сетки двигаются вместе с веществом.

Численная модель для электродинамической части и для термоупругого тела описана в работах [7-8], модель для упругопластического тела разобрана в [9].

В численной модели вязкой жидкости дискретные аналоги уравнений Навье-Стокса (3.10) рассматриваются как одно матричное уравнение относительно трехкомпонентного вектора неизвестных (две компоненты скорости и давление). При таком подходе не возникает необходимости в формулировке отдельной краевой задачи для давления. Сначала аналогично с другими моделями использовались конечные элементы первого порядка, при этом давление аппроксимировалось функцией кусочно-постоянной в пределах сеточного треугольника. Такой подход в ряде расчетов приводит к получению некорректных значений давления, поэтому реализована модель с использованием конечных элементов второго порядка.

Для реализации кинематических условий в точках контакта использован метод штрафных функций (см. [11]). Для выполнения условий непрерывности магнитного поля в точках контакта лайнера и проводящей части призмы проводилась локальная перестройка сетки в призме.

Процесс нахождения решения задачи на каждом временном слое состоит из последовательного выполнения итерационных циклов для группы электродинамических уравнений, группы уравнений, описывающих движение лайнера, и уравнения теплопроводности. Кроме того, проводится цикл внешних итераций (для всей системы), по результатам которого и происходит переход на следующий временной слой.

5. Физические параметры

Приведем в безразмерном виде физические параметры задачи, которые являются общими для всех вариантов расчетов.

Начальная температура T = 1.45. Начальная скорость лайнера равна нулю. Размеры конструкции в соответствии с рис. 2.2 (для одной второй части): высота индуктора равна 1.5, его длина – 6, высота лайнера равна 0.02, расстояние между лайнером и индуктором по высоте в начальный момент времени равно 0.02. Радиус цилиндрической части опоры равен 0.94, толщина призмы 0.02. Угол наклона призм составляет 45⁰.

При расчете электромагнитных полей считается, что на расстоянии 0.5 от краев лайнера или индуктора (в начальный момент времени) находится идеально проводящий экран (в характере его электропроводности возможны варианты).

Параметры материала индуктора взяты равными соответствующим величинам стали: плотность ρ = 1.95, теплоемкость c_v = 9.21, теплопроводность κ = 1.998 10^-5, электропроводность σ = 52.9 при 0⁰ C.

Параметры материала лайнера взяты равными соответствующим величинам алюминия: плотность ρ = 0.63525, теплоемкость c_v = 18.037, теплопроводность κ = 1.035 10^-4, электропроводность σ = 40.66 при 0⁰ C, модуль Юнга

= 1762.58, коэффициент Пуассона ν_p = 0.301. Для модели с «жидким» лайнером выбрана вязкость =0.1. Для упругопластического лайнера взят предел текучести = 0.9.

Для обоих материалов электропроводность взята в виде функции температуры вида σ = σ_s / (1 + α_σ T) c соответствующими параметрами из [15].

Параметры электрической цепи индуктора составили: индуктивность L_B = 20.0, емкость С_B = 3.1 10^–5, сопротивление R_B = 120.

Начальное напряжение на обкладках конденсатора взято равным 2000.0, начальный ток – нулевой.

Параметры электрической цепи лайнера составили: индуктивность

= 0.25, емкость = 1000, сопротивление = 10^-5.

Начальный ток в цепи лайнера равен нулю, а начальное напряжение на обкладках конденсатора равно -10.

6. Экспериментальные результаты

Поскольку процесс ускорения лайнера занимает короткий промежуток времени (порядка сотни микросекунд), а в результате торможения большая часть ленты превращается в порошок, то имеющийся объем экспериментальных данных достаточно ограничен. Одними из наиболее важных экспериментальных результатов являются фотографии теневой съемки лайнера в процессе его движения. Приведенные на рис. 6.1 фотографии показывают, что профиль лайнера вплоть до момента сжатия магнитного потока остается относительно тонким и основная часть ленты не претерпевает продольного изиба, совершая по сути плоскопараллельное движение.

119 мкс	127 мкс	134 мкс	137 мкс

Рис.6.1. Кадры теневой киносъемки лайнера, разогнанного до V = 1 км/с.

Анализируя результаты, полученные при использовании разных моделей для описания лайнера, нужно сопоставлять поведение пластины с этими экспериментальными данными.

7. Результаты расчетов

Для решения поставленной задачи создан программный комплекс, состоящий из нескольких программ.

Ниже в безразмерном виде представлены результаты расчетов нескольких различных вариантов задачи. Приведена графическая информация о решении, позволяющая судить о его качественных и количественных характеристиках.

7.1 Вариант 1

В данном варианте материал обеих призм считается диэлектриком, на правой призме не установлена проводящая закоротка и поэтому цепь лайнера не замыкается. Аналогично расчетам в работах [7-8] в качестве расчетной области взята одна четверть всего продольного сечения. Сетка строится только в проводниках: лайнере и индукторе. В качестве условий контакта выбрано условие прилипания лайнера к призме. Длина ускоряемого лайнера по направлению y – l_y = 3.0.

При описанных выше условиях в [8] получены картины движения лайнера в приближении упругого тела, приведенные на рис. 5.1

t=0.0616	t=0.1176
t=0.1705	t=0.2106
Рис. 7.1. Положение упругого лайнера в разные моменты времени (оттенками серого показана скорость по оси х)

В данном расчете лайнер не долетает до нижней границы расчетной области (т.е. до столкновения со второй лентой), а начинает двигаться вверх (2 нижних рисунка). При этом по нему распространяются упругие волны возмущения. Лента ложится только на вершину призмы, а в процессе дальнейшего движения новых контактов лайнера и призмы не происходит. Сравнение рисунков 6.1 и 7.1 показывает, что приближение лайнера упругим телом не описывает реального поведения ускоряемого тела. Более того, торможение лайнера и его последующее движение вверх вызвано силами упругости, а не действием сжимаемого магнитного поля.

В расчетах, сделанных для «жидкого» лайнера, часть ленты ложится на призму, а оставшаяся часть совершает плоскопараллельное движение, как это и наблюдалось в эксперименте. На рис. 7.2 приведены соответствующие положения лайнера в два момента времени.

t=0.0535	t=0.1335
Рис. 7.2. Лайнер – вязкая жидкость. Положение лайнера в разные моменты времени (оттенками серого показана скорость по оси х)

В целях исследования роли материала, из которого сделан лайнер, проведена серия расчетов для пластического лайнера с различными модификациями кривой деформирования.

На рис. 7.3 схематично изображены выбранные кривые деформирования. Кривая 1 подобна экспериментальным данным, полученным для используемого материала лайнера (АД-0, кривая нагружения и деформации получена на разрывной машине в лаборатории МИФИ). Данная кривая имеет два характерных значения: предел текучести

= 0.9 (при бóльших напряжениях в теле образуются пластические деформации) и максимально допустимое для данного материала значение нагрузки = 1.875. Для максимального напряжения кривая имеет вид полочки: при практически неизменной нагрузке происходит активный рост пластических деформаций, пока деформации не достигают критического значения, после чего происходит разрушение материала.