Методические указания к курсовой работе Лысьва, 2009 (стр. 2 из 3)
В результате получим удобное выражение преобразованной передаточной функции WP(p), в котором при каждом коэффициенте р0 стоит 1
Для построения ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ разомкнутой САУ запишем выражения для:
а) комплексного коэффициента усиления:
б) амплитудно–частотной характеристики:
в) фазо–частотной характеристики:
г) логарифмической амплитудно-частотной характеристики:
Для построения асимптотической ЛАЧХ определим сопрягающие частоты:
и найдем выражения асимптот ЛАЧХ для каждого из диапазонов частот.
1)
для каждого диапазона частот будет справедливо выполнение следующих неравенств:
и асимптотическая ЛАЧХ в этом диапазоне будет иметь вид:
.2)
; 
; 
; 
.3)
; 
; ; 
.4)
; ; 
; 
5)
; 
; 
; 
;Асимптотическая ЛАЧХ и соответствующая ей ЛФЧХ представлены на рис.3. Их можно построить с помощью графического редактора Excel, с помощью пакета MathCAD. В нашем примере ЛАЧХ и ЛФЧХ построены с помощью функции Margin системы Matlab, в виде диаграммы Боде с одновременным определением относительной устойчивости системы.
Запишем скрипт Matlab
>> num=[0.208 1.904 2.4]; den=[1 2.5 1];
>> sys=tf(num, den)
Transfer function:
0.208 s^2 + 1.904 s + 2.4
-------------------------
s^2 + 2.5 s + 1
>> margin(sys)
Рис. 3 ЛАЧХ и ЛФЧХ – диаграмма Боде с показателями относительной устойчивости
АФХ разомкнутой системы представлена на рис. 4.
Рис.4 АФХ разомкнутой системы
Построение амплитудно-фазовых характеристик Определение динамических свойств элементарных звеньев производится по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) W(jω) = R(ω) + jΙm(ω) = A(ω)×ejφ(ω) , где R(ω) – вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики (ВЧХ);Ι(ω) – мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики (МЧХ);A(ω) – амплитудная характеристика;φ(ω) – фазовая характеристика. Амплитудно-фазовую характеристику можно построить в прямоугольной системе координат по значениям R(ω) и Ιm(ω). Для этого для каждого значения ω определяется R(ω) и откладывается по оси абсцисс, затем определяется Ιm(ω) и откладывается по оси ординат. Полученные точки с координатами (R(ω); Ιm(ω)) соединяются плавной кривой, которая и будет АФХ.Построить АФХ можно в полярных координатах по значению φ(ω) и A(ω). Для этого для каждого значения частоты ω определяется угол сдвига фаз φ(ω) и откладывается от вектора R(ω). Затем определяется A(ω) и откладывается на луче с заданным φ(ω). Полученные точки соединяются плавной кривой, которая и будет АФХ.5. Определим устойчивость замкнутой САУ.
5.1. По критерию Найквиста определяем устойчивость разомкнутой системы, а по корням характеристического полинома устойчивость замкнутой системы.
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.
Построим диаграмму Найквиста с использованием функции nyquist системы программирования Matlab. Для этого возьмем передаточную функцию разомкнутой САУ, представленную в уравнении (1)
Передаточная функция замкнутой САУ:
(2)Запишем скрипт Matlab с переменными num и den для разомкнутой САУ и numz и denz для замкнутой САУ соответственно:
>> num=[0.208 1.904 2.4]; den=[1 2.5 1];numz=[50 125 50]; denz=[1.208 4.404 3.4];
>> sys=tf(num, den);
>> roots(den)
ans =
-2.0000
-0.5000
>> roots(denz)
ans =
-2.5357
-1.1100.
>> nyquist (sys).
Команда roots(den) возвращает значения корней разомкнутой САУ, а команда roots(denz) определяет значения корней замкнутой САУ. Как видим, все корни замкнутой САУ имеют отрицательные вещественные части, а значит, система устойчива.
На рис. 5 приведена диаграмма Найквиста, которая, как видим, не охватывает точку (-1; j0) комплексной плоскости. Это позволяет говорить об устойчивости замкнутой САУ без нахождения корней характеристического уравнения.
Поскольку функция nyquist применена без указания параметров, то диаграмма строится автоматически для всего диапазона регулирования частоты
ω Î (–¥; +¥) и полный годограф Найквиста симметричен относительно действительной оси.
Рис.5 Годограф Найквиста разомкнутой САУ
5.2. По критерию Гурвица: для этого передаточную функцию замкнутой САУ (2):
Составим определители Гурвица из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы 2-го порядка:
Определитель положительный при положительном коэффициенте а0, следовательно, замкнутая система устойчива.
Все корни характеристического полинома имеют отрицательную действительную часть, следовательно, в соответствии с необходимым и достаточным условием устойчивости, замкнутая система неустойчива.
6. Проверим полученный результат с помощью системы программирования Matlab, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения: замкнутой системы. Для этого воспользуемся функцией «pole». Ниже приведен скрипт и результат вычисления и результат вычисления корней, а также их расположение на комплексной плоскости (рис. 6).
>> numz=[50 125 50]; denz=[1.208 4.404 3.4];
>> sysz=tf(numz, denz);
>> sys=feedback(sysz,[0])
Transfer function:
50 s^2 + 125 s + 50
-------------------------
1.208 s^2 + 4.404 s + 3.4
>> pole(sys)
ans =
-2.5357
-1.1100
>> pzmap(sys)
7. Построим временные характеристики системы, для чего воспользуемся пакетом MatLab и библиотекой Simulink. Для построения воспользуемся передаточной функцией замкнутой системы (2). На вход 1-го звена подадим входное ступенчатое воздействие с задержкой 1 с, на вход второго – импульсное воздействие с параметрами (Period – 10 sec; Pulse Width – 1 %).
В результате путем моделирования замкнутой САУ получим переходную и импульсную переходные характеристики системы. Установившееся значение на выходе системы составило 15 единиц.
Рис.6 Расположение корней характеристического полинома на комплексной плоскости
