Задачи по курсу общей физики для студентов астрономического отделения. (1) (стр. 2 из 3)
и квадрата его модуля 
, а также аналогичных величин для ускорения
.II. Движение в полярных координатах.
Задача 5. Точка A движется в плоскости (x, y), причём закон её движения задан в полярных координатах: r=r(t), φ=φ(t).
Определить скорость и ускорение точки.
 Рис. 5. Полярные координаты |
Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5. Обозначим посредством eζ и eη“новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы eζ и eη со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов i и j. Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат:
.Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для
: 
.Радиус-вектор, по построению, коллинеарен eζ::
.При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта
: 
. 
( 8 )Проекция
называется азимутальной, а проекция 
- трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения: 
. (9)Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле
и 
имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с 
описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое 
- кориолисово ускорение.Задача 6. Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты.
Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол j отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса с эксцентриситетом e и параметром p в полярных координатах имеет вид:
, (10)Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введём константу
(11)Перепишем формулу (9) Задача 5 в виде
. ( 12 )Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус–вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ:
(13)Вводим новую переменную u=1/r и воспользуемся формулой Бинэ:
, (14)где введено обозначение
= du/dφ. Для вычисления правой части достаточно знать функцию r(φ). Для вывода формулы Бинэ выразим скорость изменения r через 
: 
.Воспользовавшись определениями
и K, перепишем последнее уравнение в форме: 
, ( 15 )а дифференцируя его по времени с учётом ( 11 ) получаем
. ( 16 )Подставляя в ( 13 ) полученные выражения для
и , приходим к ( 14 ). Теперь с помощью формулы Бинэ получаем окончательное выражение для wξ: 
.Итак, со стороны Солнца на планету действует притягивающая сила
.Задача 7. Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом ε. Зная её скорость v1 в перигелии, определить скорость v2 в афелии.
В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус–вектор взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен её трансверсальной компоненте:
. Точке перигелия , согласно ( 10 ), соответствует значение φ равное нулю, а в точке афелия φ = π. Из постоянства секторной скорости вытекает равенство 
.Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату:
.Задача 8. Показать, что квадрат скорости планеты равен
,где a — длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует
. ( 17 )Вычислив
по формуле ( 15 ) Задача 6, получаем 
.Здесь также учтено
.Уравнение траектории ( 10 ) позволяет выразить sin2 φ через r: 
.Подставив это значение в предыдущую формулу с учётом соотношения
, приходим к искомому результату.Задача 9. Частица движется к притягивающему центру по плоской траектории
, ( 18 )где r и φ — известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиус‑вектору и по абсолютной величине равна v0. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения.
Из начальных условий определим значение константы K=2av0. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом, притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. Радиальную компоненту вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчёты по формуле ( 13 ) Задача 6. Из ( 15 ) и ( 16 ) следуют выражения для
и : 
откуда
.Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin2φ через a и r :
.Окончательно
.Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ):
Подставляя в ( 14 ) полученное выражение для
, после простых преобразований приходим к тому же выражению для ускорения: 
.