Правила преобразования элементов и расчетные соотношения для основных видов преобразований. 7 Расчет и реализация пассивных lс-фильтров. 8 (стр. 3 из 4)

Под пассивным фильтром подразумевается реактивный четырехполюсник (четырехполюсник без потерь), нагруженный со стороны выходных зажимов на сопротивление нагрузки R2, а со стороны входных - на внутреннее сопротивление генератора R1, как это показано на рис.2.

Рис.2. Реактивный четырехполюсник с нагрузкой на входе и выходе

При расчете таких фильтров для их описания вводят два коэфицента – коэфициент передачи мощности и коэффициент отражения – определяемые по следующей методике.

Максимальная мощность, которая может поступить от источника в нагрузку, рассчитывается по формуле

Мощность, поступающая в нагрузку через реактивный четырехполюсник, определяется выражением

С учетом этого коэффициент передачи мощности определяется отношением

оэффицент отражения определяется как дополнение оэффицента передачи мощности до 1:

Отсюда следует, что изменение коэффициента отражения в полосе пропускания приводит к изменению затухания на величину, дБ,

Иначе

В справочниках по расчету фильтров используют как максимально допустимый коэффицент отражения, так и максимальную неравномерность АЧХ затухания.

Часто вместо коэффицента передачи мощности используется характеристическая функция θ(iω), определяемая из соотношения

Откуда следует, что

Существует несколько методов реализации заданной передаточной функции пассивной цепью. Наибольшее распространение получили три основные схемные структуры: лестничные схемы, мостовые схемы и схемы Дарлингтона. Тематика курсовой работы предполагает разработку пассивного LС -фильтра лестничной структуры. Лестничные схемы обладают важным преимуществом, вытекающим из следующего свойства: нуль передачи лестничной цепи достигается на тех частотах, на которых полное сопротивление последовательной ветви или полная проводимость параллельной ветви равны бесконечности. Из этого следует, что каждой ветвью обусловлен нуль передачи (полюс затухания). Это делает настройку лестничного фильтра относительно простой. Также благодаря этому нули передачи (полюса затухания) менее чувствительны к изменению параметров элементов по сравнению со схемами, в которых частота полюса (нуля) определяется условием баланса моста.

Расчет пассивного LC-фильтра лестничной структуры осуществляется в следующей последовательности.

1. Нормирование частоты и определение нормирующих параметров у элементов фильтра.

2. Переход к фильтру-прототипу и определение параметра избирательности фильтра-прототипа.

3. Выбор типа и порядка фильтра-прототипа.

4. Определение по таблицам и графикам нормированных параметров фильтра-прототипа.

5. Преобразование частоты - переход от фильтра-прототипа к ФВЧ или ПФ.

5. Денормирование параметров элементов фильтра.

Нормирование частоты можно производить и после перехода к фильтру-прототипу.

Алгоритм расчета комплексной частотной характеристики лестничной цепи.

Под лестничной цепью понимают пассивный линейный четырехполюсник, образованный путем каскадного соединения обратных Г-образных звеньев (рис.6). Пассивные фильтры чаще всего строятся на основе именно таких структур.

При расчете КЧХ продольные ветви такой цепи удобно обозначать как сопротивления с нечетными индексами. Внутренне сопротивление источника включается в состав сопротивления Z1, а проводимость нагрузки – в состав проводимости Y2n.

Составляя уравнения Кирхгофа последовательно для первого контура и первого узла, затем для второго контура и второго узла и т.д., получаем систему из 2n уравнений и с 2n неизвестными (токи и напряжения).

I1Z1 + U2 = E (1 контур),

-I1 + Y2U2 + I3 = 0 (1 узел),

-U2 + I3Z3 + U4 = 0 (2 контур),

-I3 + Y4U4 + I5 = 0 (2 узел),

………………………………….

-U2n + I2nZ2n + U2n = 0 (n-й контур),

-I2n-1 + Y2nU2n = 0 (n-й узел).

Или в матричной форме

где [IU] = [I1,U2,I3,U4,…,I2n-1,U2n] – вектор-столбец электрических переменных схемы (токов и напряжений);

[E] – вектор-столбец источников;

[ZY] – матрица параметров схемы, имеющая следующий вид;

Уравнение всегда разрешимо:

Можно избежать трудностей вычисления обратной матрицы [ZY], если воспользоваться некоторыми свойствами трехдагональных матриц, к которым относится матрица параметров [ZY]

Решение системы линейных уравнений методом Крамера дает:

где ∆ - определитель матрицы параметров;

∆2n – определитель матрицы, полученной из [ZY] путем замены последнего столбца на вектор-столбец [E].

Раскладывая определитель ∆2n по элементам последнего столбца и учитывая, что остающийся при этом определитель треугольный, получаем:

Передаточная функция по напряжению по определению

Откуда с учетом выше приведенных формул получаем, что КЧХ по напряжению и ее модуль определяются выражениями:

а затухание – соответственно

Таким образом, задача построения АЧХ сводиться к расчету определителя матрицы, выполняемому по рекуррентной схеме:

Далее, пользуясь методом математической индукции, приходим к следующему рекуррентному соотношению:

Подчеркнем, что в общем случае элементы матрицы [ZY] носят комплексный характер, поэтому необходимо отдельно вычислять действительные и мнимые части определителя.