Конкретизируем обозначения основных переменных, используемых в классической формуле Уилсона, чтобы придерживаться их и в дальнейшем:
q - объем заказа, шт.;
d - промежуток времени между заказами, дней;
m - постоянная скорость потребления, шт/день;
c - стоимость хранения на складе, руб/(шт/день);
g - стоимость разового использования единицы транспорта, руб.;
T - полное время наблюдения за работой склада, дней;
n - количество заказов, сделанных за период T, шт.
Согласно обычному предположению отрезок времени длины d укладывается на отрезке наблюдения T целое число раз, т.е. nd = T. Фактически при выводе формулы n считается непрерывно изменяющейся переменной и потому равенство nd = T выполняется лишь приближенно. То, что промежутки времени между заказами выгодно брать одинаковыми, а не различными, может быть обосновано математически. Важным предположением при выводе обычной формулы Уилсона является недопустимость хотя бы кратковременного дефицита. Отсюда следует, что подвозимое на склад очередное количество q пропорционально значению d, а именно q = dm. При указанных условиях график изменения количества товара на складе Q(t) имеет вид, указанный на рис. 1.1.
/ \ Q(t) n = 5
│----------------------------------------------------
q │\ │\ │\ │\ │\
│ \ │ \ │ \ │ \ │ \
│ \ │ \ │ \ │ \ │ \
│ \ │ \ │ \ │ \ │ \
│ \ │ \ │ \ │ \ │ \
│ \ │ \ │ \ │ \ │ \
│ \ │ \ │ \ │ \ │ \ │ │
│ \│ \│ \│ \│ \│ │ t
└────────────────────────────────────────────┴───┴────────>
0 d 2d nd T
Рис. 1.1. График изменения количества одного товара на складе
Участком графика от t = nd до t = T при выводе формулы Уилсона пренебрегают. График имеет одну степень свободы, в качестве которой можно взять либо q, либо d, либо n. Наклон всех убывающих линейных функций одинаков (даже при значениях q, изменяющихся от заказа к заказу, как оптимальных, так и неоптимальных). Оптимальное значение количества q, пополняющего запас на складе, задается известной формулой Уилсона:
_____
/ 2mg
q = \ / --- . (1)
опт \/ c
Так, если на складе хранится сахар, который распродается с постоянной скоростью 80 центнеров в сутки (m = 80), стоимость заказа машины для перевозки сахара составляет 250 руб. (g = 250), а хранение одного центнера сахара на складе в течение одних суток обходится в 17 руб., то оптимальный объем подвоза товара составляет 48,5 центнера. Если считать, что торговля происходит в круглосуточном режиме (а именно так и надо делать, если мы хотим пользоваться классической формулой Уилсона), промежуток времени d между последовательными заказами определяется из следующего рассуждения: если за 24 часа раскупается 80 центнеров сахара, то 48,5 центнера будут раскуплены за 14,55 часа. Итак, через каждые 14,5 часа на складе должна разгружаться очередная машина, доставившая очередные 49 центнеров сахара (округление сделано в большую сторону во избежание появления дефицита), а чтобы это произошло, машина, конечно, должна быть нагружена и отправлена раньше. Любой другой вариант организации снабжения, как с меньшим значением q (и соответственно с меньшим d), так и с большим, будет приводить к более значительным затратам на подвоз и хранение товара.
Простая поправка к формуле (1) позволяет учесть ограниченность объема транспортного средства: если оптимальное значение q превышает вместимость транспортного средства q0, то надо сделать предположение, что поставка будет осуществлена на двух машинах, т.е. заменить в (1) g на 2g. Если новое значение q, полученное с помощью (1), превышает 2q0, то следует предположить, что поставка будет осуществлена на трех машинах, и заменить в (1) 2g на 3g и т.д.
Теперь рассмотрим логистическую проблему оптимального пополнения склада, поставляющего потребителям два товара. Одно из возможных решений очевидно (но не оптимально): снабжать каждым товаром по отдельности, в каждом из случаев определяя оптимальный объем поставок по формуле (1). В этом случае временные диаграммы изменения на складе запаса каждого из товаров (т.е. отрезки прямых постоянного наклона на рис. 1) уже не будут синхронизированы в том смысле, что величина d1 (оптимальный промежуток времени для пополнения запаса первого товара) и соответствующая величина d2 для второго товара не будут связаны простым соотношением типа 2d1= 3d2, приводящим к регулярному совпадению моментов времени, в которые должен пополняться запас и первого, и второго товаров. Но даже если бы между этими двумя значениями d случайно и имелось указанное выше соотношение, то в моменты совпадения подвоза и первого, и второго товаров возникала бы проблема: позволяет ли вместимость использованного транспортного средства вместить и тот, и другой товар или для этого придется использовать два или более различных транспортных средства.
В данном случае общие затраты на снабжение склада двумя товарами в течение периода T представляют собой функцию двух переменных (например, d1, d2). Эта функция оказывается суммой двух слагаемых: F(d1) + G(d2), где F, G - затраты на подвоз и хранение соответственно первого и второго товаров. Осуществляя поиск точки экстремума этой функции по обычному математическому правилу (путем нахождения частных производных по d1 и d2 и приравнивания их нулю), мы получаем систему уравнений
F'(d1) = 0, G'(d2)= 0. (2)
Таким образом, глобальная внутренняя точка экстремума (если она есть) может быть получена отдельным поиском точки экстремума для каждого слагаемого (что достигается двухкратным применением формулы (1) для параметров m1, g1, c1 и m2, g2, c2 соответственно). Такой вывод, полученный формальным применением математических правил, никоим образом нельзя считать верным с логистической точки зрения. В самом деле, выбрав оптимальным образом q1, мы получим наилучший способ поставок первого товара. Однако при этом машины, осуществляющие эти поставки, вообще говоря, не будут заполнены на 100%. Например, может случиться так, что оптимальный объем поставок равен 12 т. Если при этом используются 5-тонные грузовики, то каждая поставка потребует трех машин, причем третья будет заполнена лишь на 40% (напомним, что в формуле (1) при этом следует вместо g взять 3g). Возникает вопрос: не следует ли недогруженную третью машину догрузить товаром второго типа (хотя бы это количество и не было оптимальным с точки зрения формулы (1) для второго товара), сэкономив при этом на заказе машины для доставки второго товара. Здравый смысл подсказывает, что при достаточно большом значении g это действительно будет выгодно. Однако при наличии догрузки машин вторым товаром уже нельзя будет считать, что полные расходы на снабжение получаются суммированием F(d1) и G(d2), т.е. система (2) становится неприменимой.
Сначала рассмотрим случай снабжения при наличии одного транспортного средства неограниченной вместимости. Для первого и второго товаров оптимальный объем заказа соответственно равен
______ _______
/ 2m1g / 2m2g
q1 = \ / ----- и q2 = \ / ---- (3)
\/ c1 \/ c2
Так, при выборе параметров T = 60 дней, m1 = 100 шт/день, m2 = 30 шт/день, g = 250 руб., с1 = 5 руб/(шт. день), c2 = 2 руб/(шт. день) (т.е. первый товар требует больше расходов на хранение, чем второй, но и спрос на него больше) получаем
q1 = 100 шт., q2 = 87 шт.
Очевидно, что подвоз первого товара должен быть ежедневным, т.е. n1 = 60, d1 = 1 день и n1d1 в точности равно T. Для второго товара d2 = 2,9 дня, n2 = 20 и n2d2 на 0,78 дня меньше, чем T. Минимальное значение расходов на подвоз и хранение, как известно, вычисляется по формуле
______
f min = T \/ 2mgc (4)
Следовательно, при независимом снабжении склада первым и вторым товарами с помощью одной машины (считая, что она оборачивается настолько быстро, что даже при близости друг к другу моментов поставки первого и второго товаров в снабжении не происходит задержки) общие расходы по снабжению равны:
___ ______ ______
f12 = T \/ 2g( \/ m1c1 + \/ m2c2 ) (5)
В рассмотренном нами числовом примере f12 = 40 390 руб.
Теперь рассмотрим так называемый синхронизированный вариант снабжения, при котором оба товара подвозятся в один и тот же момент (и в одной и той же машине). Для этого, конечно, нужно подвозить разные количества первого и второго товаров. А именно пусть d1 = d2 (обозначим просто d), тогда
q1 = m1d, q2 = m2d. (6)
Выражая полную стоимость снабжения как сумму трех слагаемых: ng (общая стоимость заказов машины; n = T/d ), 0,5 n q1 c1 d (общая стоимость хранения первого товара) и 0,5 n q2 c2 d (стоимость хранения второго товара), учитывая (6) и приравнивая производную по d нулю, получаем наилучшее d:
___________
/ 2g
q = \ / -----------. (7)
\/ m1c1 + m2c2
Подставляя (7) в общее выражение для затрат, получаем наименьшую стоимость синхронизированного снабжения:
___ _____________
g12 = T \/ 2g( \/ m1c1 + m2c2 ). (8)
Сравнение (5) и (8) не представляет труда: так как корень из суммы положительных чисел всегда больше суммы их корней, то синхронизированное снабжение дешевле независимого. Конкретно в нашем примере g12 равно 31 750 руб.
Перейдем к случаю, когда вместимость машины, используемой для подвоза товара, ограничена. Конкретно, пусть она вмещает не более a1 единиц первого товара и отдельно не более a2 единиц второго. Тогда план одной перевозки, совершаемой такой машиной, изображается любой точкой на треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x/a1 + y/a2 = 1 (где x, y - загружаемые в машину количества первого и второго товаров соответственно), включая его границу.
Для каждой такой точки определим интервал подвоза товаров d как минимум из двух интервалов: интервала, необходимого для полной распродажи первого товара в количестве x, и распродажи второго товара в количестве y: