F2=330∙2,43+592∙2,54+248∙3,06+462∙3,21+30∙3,51+542∙2,42+698∙2,69+72∙0=7750,2 руб.
Новый план вновь проверяем на потенциальность, т. е. вновь выполняем расчеты двух этапов. И эту работу продолжаем до тех пор, пока в незаполненных клетках не будет нарушений. В нашем случае таких нарушений нет. Значит F2=Fmin = 7750,2 руб. Значения F, последующие после первого, можно определять и по упрощенной схеме по формуле: Fj+1=Fi (-при мин.) или (+при макс-) ±bj+1 pj+1 . В нашем случае
Fj+1 =Fj- bj+1 pj+1,
где Fj - значение функции предыдущей таблицы, bj+1 величина непотенциальности клетки, положенной в основу цикла, Pj+1 - значение плана, перемещаемое по циклу. В нашем случае F1 = 7782,6 руб., bj+i = 0,45, pj+i = 72.
В результате имеем F2 = 7782,6-0,45∙72 = 7750,2 руб.
Оптимальная программа предусматривает, что потребности 3-го потребителя будут удовлетворены за счет ресурсов поставщика А, т. е. первого (х13=330), потребности второго за счет ресурсов второго поставщика (х22=592) и т. д. Значение х54=72 обозначает, что при недостатке ресурсов поставщиков и критерии оптимальности - минимум материально-денежных затрат целесообразнее всего недовыполнить заказ 4-го потребителя.
6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РУКОВОДСТВА ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ТРЕТЬЕГО ЗАДАНИЯ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ
Цель - обосновать минимальный по стоимости рацион среднегодовой коровы.
Исходная информация:
1. Компоненты рациона: концентраты, сено, сенаж, зеленый корм.
2. Потребность в питательных веществах, не менее ц: к. ед. (30,6+0,2№), переваримого протеина - (3,13+0,2№).
3. Ограничения по скармливанию отдельных видов кормов, ц: концентраты не менее (6,8+0,1№) и не более (11,6+0,2№), сено - не менее (9,4+0,3№), сенаж - не более (39+0,5№), зеленый корм - не более (59+0,5№). Питательность кормов (табл. 33).
Таблица 33.
Питательность и себестоимость кормов
| Корма | Содержится питательных веществ, ц в 1 ц корма | Себестоимость кормов, руб. за 1 ц | |
| к. ед. | переваримого протеина | ||
| Концентраты | 1,2 | 0,12 | 11,9+0,05№ |
| Сено | 0,5 | 0,05 | 4,1+0,05№ |
| Сенаж | 0,3 | 0,033 | 2,4 |
| Зеленый корм | 0,2 | 0,02 | 1,2 |
Поскольку в нашем случае № = 2, подставляем его (№) значения в выражения пунктов 2, 3, 4 и определяем исходную информацию задачи. Цель решения задачи определяет ее содержание.
Необходимо определить состав рациона, вес отдельных кормов, при котором будут учтены все требования, предъявляемые к рациону при минимальной его стоимости. Следовательно, неизвестными задачи будет вес кормов: x1 - вес концентратов в рационе, ц; х2 - вес сена, ц; xз - вес сенажа, ц; х4 - вес зеленого корма, ц.
Для определения значений переменных необходимо составить систему уравнений и неравенств, а также целевую функцию, которые в совокупности будут отражать требования к рациону. Выясним, в чем сущность предъявляемых требований к рациону? Сущность требований состоит в том, что, во-первых, содержание питательных веществ в рационе должно быть не менее установленного минимума, во-вторых, вес отдельных кормов не должен выходить за допустимые пределы и, в-третьих, стоимость рациона должна быть минимальной.
Итак, требуется найти х1 х2, х3, х4 - вес отдельных кормов в рационе при следующих условиях:
1. Содержание кормовых единиц в рационе составит не меньше минимума
1,2х1+0,5х2+0,3х3+0,2х4 ≥ (30,6+0,02 2) ≥ 31,0;
2. Содержание переваримого протеина в рационе составит не меньше минимума
0,13х1+0,05х2+0,033х3+0,02х4 ≥ (3,13+0,2 2) ≥ 3,17;
3. По весу концентратов - нижняя граница x1 ≥ 7 (6,8+0,1∙2);
4. По весу концентратов - верхняя граница х1 ≤ 12 (11,6+0,2∙2);
5. По весу сена - нижняя граница х2 ≥ 10 (9,4+0,3∙2);
6. По весу сенажа - верхняя граница х3 ≤ 40 (39+0,5∙2);
7. По весу зеленого корма - верхняя граница х4 ≤ 60 (59+0,5∙2).
Стоимость рациона минимальная: Fmin = (11,9+0,05•2) xl + (4,1+0,05∙2) х2+2,4х3+1,2х4. Система неравенства задачи имеет вид:
1) 1,2х1+0,5х2+0,3хз+0,2х4 ≥ 31.
2) 0,13x1+0,05x2+0,033x3+0,02x4 ≥ 3,17
3) x1 ≥ 7. 4) x1 ≤ 12.
5) x2 ≥ 10. 6) x3 ≤ 40.
7) x4 ≤ 60.
Fmin = 12x1+4,2x2+2,4x3+1,2x4. (1)
Дальнейшие преобразования и вычисления могут осуществляться различными модификациями симплексного метода. В данном случае мы останавливаемся на одном из них, который, как нам представляется, является более простым, если решение выполняется вручную. Сказанное не исключает возможности использования студентом при вычислении других модификаций симплексного метода.
Приводим все ограничения к типу меньше-равно (≤). Для этого ограничения типа (≥), т.е. 1, 2, 3, 5, умножаем на минус 1 (-1). Тогда имеем:
1) -1,2х1-0,5х2-0,3х3-0,2х4 ≤-31.
2) -0,13x1-0,05х2-0,033х3-0,02х4 ≤-3,17.
3) -x1 ≤ -7.
4) х1 ≤ 12.
5) -х2 ≤-10.
6) х3 ≤40.
7) х4 ≤60.
Fmin =12x1+4,2x2 = 2,4x3+1,2x4 (2)
В соответствии с требованиями алгоритма симплекс-метода превращаем неравенства в уравнения. Для этого вводим дополнительные переменные уi где i - номер ограничения. Дополнительных переменных вводим столько, сколько ограничений типа. В нашем случае вводим семь дополнительных переменных.
1) -1,2x1-0,5х2-0,3х3-0,2x4+y1 = -31.
2) -0,13x1-0,05х2-0,033х3-0,02х4+у2=-3,17.
3) - Х1+y3= - 7.
4) x1+y4=12.
5) -Х2+у5 = -10.
3) х3+y6 = 40.
4) 7) х4+у7 = 60.
Fmin =12x,+4,2x2+2,4x3+l,2x4. (3)
С точки зрения экономической дополнительные переменные обозначают величину недоиспользования ресурсов, если исходные ограничения (1) имеют вид меньше-равно (≤), или обозначают величину превышения сверх минимума, если исходные ограничения типа больше-равно (≥).
Рассмотрим изложенное на примере. Согласно (1) первое ограничение по содержанию кормовых единиц (1,1x1+0,5x2+0,3х3+0,2х4 ≥ 31) имеет вид больше-равно. Допустим, что сумма произведений переменных левой части на коэффициенты по результатам решения равна 32. Тогда 32 ≥ 31. В ограничении системы (2) имеем 32<-31. И тогда y1 в системе 3 равен 1, т. е. -32+1=-31. Поскольку 31 минимальная норма, а 32 фактически полученная, то yi = l есть величина превышения содержания кормовых единиц сверх минимума.
Согласно системе 1, 2 ограничение 4 имеет вид: X1≤12, а уравнение x1+y4=12. Если x1 - количество корма в рационе, а 12 - максимально возможное значение, то у4 - величина недоиспользования возможного. Например, в результате подстановки x1 равен 10, y1 = 2 будет обозначать величину недоиспользования ресурса. Решение включает два этапа - поиск опорного, т. е. допустимого решения и оптимального.
Опорное решение получаем при значениях переменных, которые, будучи подставленными в условия (ограничения) задачи, представленные в виде системы 3, т. е. уравнения, обеспечивают выполнение всех условий задачи. Поиск опорного решения начинаем с допущения, что искомые переменные равны нулю, т. е. xj , в нашем случае х1, х2, x3, х4 = 0. Тогда, подставив эти значения в уравнения системы 3, получим: у1 = - 31; у2 = - 3,17, у3 = -7, у4=12, у5 = -10, у6 = 40, y7 = 60, F=0.