А. Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики», издательство «Лань», 1998, > Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров «Теория вероятностей», Наук (стр. 3 из 9)

2. Бросание двух монет. Имеется 4 элементарных события «0,0»,«0,1», «1,0» и «1,1». ». Механизм случайного выбора это бросание двух монет.

3. Бросается n монет. Имеется

элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов нулей и единиц длиной n. ». Механизм случайного выбора – это бросание n монет.

4. Бросается игральная кость. Имеется 6 элементарных событий «1», …, «6». ». Механизм случайного выбора – это само бросание кости.

5. Бросается 2 игральные кости. Имеется 36 элементарных событий – «1,1», …, «6,6». Механизм случайного выбора – бросание 2 костей.

6. Бросается n игральных костей. Имеется

элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов цифр от 1 до 6 длиной n. Механизм случайного выбора – бросание n костей.

7. n карточек с числами от 1 до n случайным образом извлекаются из корзины. Элементарным событием является набор чисел, состоящий из чисел от 1 до n. Число элементарных событий равно соответствующему числу перестановок, т.е. n!. Механизм случайного выбора – процедура извлечения карточек.

8. Из хорошо перемешанной колоды из 36 карт вынимают одну карту. Элементарное событие – это карта. Механизм случайного выбора – это процедура перемешивания карт.

9. В барабане находится n шаров. При длительном вращении барабана шары перемешиваются, после чего один из них попадает в лунку. Элементарные события – шары. Механизм случайного выбора – перемешивание с помощью барабана.

10. Имеется прямоугольник, разбитый на клетки. Частица передвигается только по сторонам клеток, так, что каждую секунду она смещается либо на единицу вправо, либо на единицу вверх с равными вероятностями. В этой задаче механизм случайного выбора не указан, но его легко можно реализовать, причем различными способами. Например, каждую секунду можно бросать симметричную монету и передвигать частицу вправо, если выпал «герб» и на единицу вверх, если выпала «решка».

В рассмотренных примерах с помощью механизма случайного выбора может реализоваться лишь конечное число различных элементарных событий. В большинстве вероятностных задач число таких событий бесконечно. Примерами таких задач являются 1) бросание монеты до первого появления герба, 2) «случайный» выбор точки из интервала [0,1], игра в карты до первой победы.

События

Событие в теории вероятностей – это множество, состоящее из элементарных событий.

События обычно имеют свои словесные описания. Например, при бросании двух игральных костей можно рассматривать событие A, состоящее в суммарном выпадении четного числа очков, а при вытаскивании игральной карты из колоды событием является выпадение карты бубновой масти. Все эти события состоят из элементарных событий. Так, при бросании игральных костей событие A состоит из элементарных событий {1,1}, {1,3}, {1,5}, {2,2}, {2,4}, {2,6}, {3,1} {3,3}, {3,5}, {4,2}, {4,4}, {4,6}, {5,1}, {5,3}, {5,5}, {6,2}, {6,4}, {6,6}.

Достоверным событием называется событие, состоящее из всех элементарных событий.

Достоверное событие происходит всегда, поскольку в результате случайного выбора какое-то элементарное событие всегда реализуется. Обозначим достоверное событие буквой Ώ.

Невозможным событием называется событие, которое не может произойти никогда.

Обозначим его V. Оно представляет собой пустое множество элементарных событий.

Противоположным событию А

Ώ событием называется событие

, состоящее в том, что событие А не произошло.

состоит из элементарных событий, не входящих в А.

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие А + В, состоящее в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе).

Этому событию соответствует множество элементарных событий А

В. Поэтому, иногда мы будем использовать знак объединения, вместо знака суммирования.

Пример. По мишени стреляют 3 раза. События А, В, С – попадание при 1-ом, 2-ом и 3 выстрелах соответственно. Сумма событий А, В и C означает хотя бы одно попадание.

Произведением (или пересечением). событий А и В называется событие АВ, состоящее в том, что события А и В происходят одновременно.

Этому событию соответствует множество элементарных событий А

В. Поэтому, иногда мы будем использовать знак пересечения, вместо знака произведения.

Пример. По мишени стреляют 3 раза. События А, В, С – попадание при 1-ом, 2-ом и 3 выстрелах соответственно. Произведение событий А и В с означает все три попадание.

Определение суммы и произведения, данное для 2-х событий легко распространяются на случай нескольких событий.

Суммой n событий называется событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из исходных событий.

Произведением n событий называется событие, состоящее в том, что одновременно произошли все исходные события.

Эти определения соответствуют операциям объединения и пересечения соответствующих множеств элементарных событий.

Разностью событий А и В называется событие А \ В; которое состоит в том, что происходит событие А и не происходит В.

В разность входят элементарные события из A, не входящие в B (A \ B =

).

Пример. По мишени стреляют 2 раза. События А и В, - попадание при 1-ом, и 2-ом выстрелах соответственно. Разность событий А и В – это событие, состоящее в том, что в мишень попали в 1ый раз и промазали во второй.

Мы говорим, что из события A следует событие B, если множество элементарных исходов, составляющее событие A, входит в B, т.е.

Правила де Моргана

1.

. Противоположное событие к сумме событий есть произведение событий противоположных исходным событиям.

2.

Противоположное событие к произведению событий есть сумма событий противоположных исходным событиям.

Пример к 1-ому правилу. Пусть событие A состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий

. Тогда противоположное событие к A, состоит в том, что не произошло ни одно из этих событий.

Задача 14. По мишени произведено 3 выстрела. Событие A_i означает, что произошло попадание при i-ом выстреле i=1,2,3.

Выразить события A,B,C.D.E.F,G.H через события A_i с помощью операций суммы, произведения и дополнения.

Задание	Ответы
1	A - все 3 попадания	1
2	B - все 3 промаха	2
3	C - хотя бы одно попадание	3
4	D - хотя бы один промах	4
5	E - не меньше двух попаданий	5
6	F - не больше одного попадания	6	F=A1 2 3+ 1A2 3 + 1 2A3 +
7	G - возможно попадание, но не раньше, чем при 3 выстреле	7
8	H - попадание только при 3-ем выстреле	8	H= A3

3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Основное предположение классического определения вероятности состоит в том, имеется всего n равновероятных элементарных событий. Пусть событие A состоит из m элементарных событий. Обозначим их количество m(A).