Когда числа n и m становятся большими, вычисления по этой формуле становятся затруднительны. Поэтому используются три предельные теоремы: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра-Лапласа и интегральная теорема Муавра-Лапласа. Приведем их формулировки.

Предельные теоремы для схемы Бернулли

Теорема Пуассона. (Формулировка приводится в упрощенном виде). Пусть имеется n независимых испытаний с вероятностью

успеха в одном испытании и
- вероятностью неудачи. Пусть
и для некоторой постоянной C при всех n выполняется неравенство
Тогда для любого фиксированного m справедливо соотношение

при

Отметим, что на практике эта теорема применяется при

Это означает, что p должно быть очень малым числом.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть имеется n независимых испытаний с вероятностью успеха p,

, в одном испытании и
- вероятностью неудачи. Величина
не зависит от n. Предположим, что для некоторой постоянной C>0 выполнено условие

Тогда

при

Эта теорема применяется, когда p отделено от нуля и единицы.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть имеется n независимых испытаний с вероятностью успеха p,

, в одном испытании и
- вероятностью неудачи. Величина
не зависит от n. Тогда .для любых вещественных чисел a<b при

P(a<

<b )→Φ(b)- Φ(a).

Здесь Φ(x)=

- функция распределения стандартного нормального закона, значения которой затабулированы в таблицах, приведенных в большинстве задачников по вероятности и математической статистике.

Задачи на схему Бернулли

Задача 30. Случайное блуждание по прямой. Частица движется по целым точкам вещественной прямой, перемещаясь каждую секунду либо на единицу вправо, либо на единицу влево с вероятностями, равными 1/2. Найти вероятность того, что через n секунд частица вернется в точку 0.

Решение. Очевидно, вернуться в 0 частица может только за четное число секунд. Поэтому считаем, что n=2k. Считая, успехом движение частицы вправо, заметим, что для возвращения за n секунд должно быть ровно k успехов. Поэтому из формулы Бернулли следует, что вероятность возвращения равна

Задача 31. Имеется 5 студенческих групп по 25 человек, в каждой из которых по 5 отличников. Из каждой группы выбирается случайным образом по одному студенту. Найти вероятность того, что среди выбранных студентов будет 3 отличника.

Решение. Вероятность выбрать отличника в одной группе равна p=1/5.Выбор отличника будем считать успехом. Тогда число успехов среди n=5 испытаний должно равняться m=3. Таким образом, по основной формуле схемы Бернулли искомая вероятность равна

(1/5)³(4/5)²= (32/625).

Задача 32. Задача Банаха. У рассеянного курильщика в правом и левом кармане пиджака находится по коробку спичек. В каждом коробке по n спичек. Каждый раз, когда ему требуется закурить, курильщик вынимает новую сигарету либо из левого, либо из правого кармана с вероятностями, равными по 1/2. Найти вероятность того, что в тот момент, когда окажется пустым один из коробков, во втором коробке останется k спичек.

Решение. Пусть A – это событие, стоящее в вопросе задачи. Будем считать испытанием Бернулли вытаскивание спичек, причем вытаскивание спички из правого кармана будем считать успехом, а из левого – неудачей. Очевидно, вероятность успеха равна 1/2. Поскольку к моменту окончания «эксперимента» из одного коробка вытащили n спичек, а из другого – (n-k) спичек, то общее число испытаний Бернулли можно считать равным (2n-k), причем событие A реализуется, если число успехов равно n или k. Поэтому

Задача 33. Монета бросается 100 раз. Найти приближенно вероятность того, что герб выпадет 40 раз. (Воспользоваться таблицей )

Решение. Если считать успехом выпадение герба, то вероятность успеха равна 1/2. Поэтому используя предельную локальную теорему Муавра-Лапласа, получим

, где

Таким образом, используя таблицы для плотности нормального распределения, получим P(A)=0.0108.

Задача 34. Город ежедневно посещают 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью, приближенно равной 0.99, все пришедшие в ресторан туристы смогли бы там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть для этого в ресторане?

Решение. Обозначим через A_i событие, состоящее в том, что i-ый турист пообедал у заинтересованного владельца ресторана, i=1,2,…,1000. Наступление события A_i будем называть успехом в i-ом испытании. Вероятность успеха P(A_i)=p=1/2. Пусть m – общее число успехов, событие A состоит в переполнении ресторана, k – общее число мест в ресторане. Тогда нам надо подобрать k таким образом, чтобы выполнялось приближенное равенство

) = P(

) =1- 0.99=0.01.

Из интегральной теоремы Муавра-Лапласа Следует, что для этого достаточно, чтобы выполнялось равенство Ф(

) = 0.99.

Обращаясь к таблице значений функции Φ(x), получим уравнение для нахождения числа k:

= 2.33.

Решение этого уравнения k=500+2.33∙ 5√10=536.8. Поскольку k должно быть целым числом, то следует окончательно выбрать k=537.

Задача 35. Машинистка печатает текст, который содержит 20000 знаков. Каждый знак может быть напечатан неправильно с вероятностью 0.0004. Какова вероятность того, что в тексте не менее 3 опечаток?

Решение. Если опечатку считать успехом, то к этой задаче применима схема Бернулли при p=0.0004, n=20000. Поскольку λ=np=8, то можно использовать предельную теорему Пуассона. Поэтому, искомая вероятность равна 1-P_n⁰- P_n¹- P_n²=1-e^-8- 8 e^-8-(64/2) e^-8= 1-41 e^-8=0.986.

Задача 36. При рождении ребенка вероятность рождения мальчика равна 0.512. Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных мальчиков родится больше, чем девочек.

Решение. Пусть A – это событие, соответствующее вопросу задачи, m – это число рожденных мальчиков. Нетрудно видеть, что P(A) = P(m>500). Поскольку n=1000 можно считать достаточно большим, то применим интегральную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой

P(A)=P(

8. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В некоторых учебниках по теории вероятностей можно встретить такое определение случайной величины.