ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика являются важной частью математического образования выпускника любого технического университета. Вероятностные методы широко применяются при решении большого числа инженерных, экономических, финансовых, естественно - научных задач.

Вместе с тем, при самостоятельном изучении теории вероятностей студент сталкивается со значительными трудностями, поскольку хорошие учебники и задачники по теории вероятностей не всегда доступны, и они часто ориентированы на работу студента с преподавателем. Особенно это относится к методам решения вероятностных задач. Дело в том, что в отличие от других разделов математики, задачи по теории вероятностей трудно разбить на небольшое число типовых задач. Несмотря на разбиение задач по разделам, к которым они относятся, часто встречаются задачи, требующие оригинальных рассуждений. Студент нередко встречается с ситуацией, когда он просто не представляет, с чего следует начать решение задачи.

Методические указания предназначены для студентов-заочников, изучающих самостоятельно базовый курс теории теорию вероятностей, и соответствуют стандартной программе этого курса. Они содержат краткое изложение основных понятий теории вероятностей, необходимых для решения задач. Кроме того указания содержат более сорока задач по теории вероятностей с достаточно подробными решениями. Задачи относятся, к наиболее важным разделам стандартного курса теории вероятностей.

Авторы считают, что студент-заочник, ознакомившись с данными методическими указаниями и разобравшись в решениях предложенных задач, сможет усвоить предлагаемую ему программу по теории вероятностей способами.

В качестве подходящих учебников по теории вероятностей авторы рекомендуют:

1. А.Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики», издательство «Лань», 1998,

2. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров «Теория вероятностей», Наука, 1969

3. Э.А.Вукулов, А.В.Ефимов и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ, Наука, 1990.

1. КОМБИНАТОРНЫЕ ФОРМУЛЫ

В этом разделе мы приведем ряд комбинаторных формул, часто используемых при решении вероятностных задач. Начнем с решения одной простой задачи.

Задача 1 . Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первых блюд в меню 5, вторых блюд – 4, а третьих -- 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

Решение. «Закодируем» обед трехзначным числом

, где

-- номер первого блюда

(

-- номер второго блюда (

)

-номер третьего блюда (

). При любом фиксированном a параметр b может принимать 4 различных значения. Поскольку сам параметр a может принимать 5 различных значений, то имеется 5∙4=20 различных пар ab. С другой стороны, при каждой фиксированной паре ab параметр c может принимать 3 различных значения. Поэтому количество различных троек

равно 20∙3=60. Таким образом, число различных обедов равно 60.

Алгоритм решения задачи легко поддается обобщению и позволяет получить следующее правило.

Правило произведения

Обозначим через

число способов, которыми можно заполнить строчку

, если для выбора элемента

существует

вариантов

Тогда

Это правило иногда используется, когда речь идет о выборах элементов из заданного множества, причем, выбор происходит без возвращения. В этом случае

и так далее. Рассмотрим пример такой ситуации.

Задача 2 Вам надо позвонить пятерым своим друзьям. Сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков?

Решение. Первый Ваш звонок может быть адресован любому из Ваших 5 друзей, второй – любому из 4 оставшихся друзей, которым Вы еще не позвонили и т. д. Поэтому задача решается с помощью приведенной выше формулы при

Ответ 120 способов.

Решение этой задачи подводит нас к следующему определению.

Перестановки

Перестановкой множества, состоящего из n элементов, называется набор этих же элементов, расположенных в другом порядке. Число всевозможных перестановок такого множества обозначается символом

Число перестановок не зависит от природы множества, а зависит только от количества его элементов и вычисляется по формуле

Для таких произведений существует специальное название n- факториал и обозначение

Оказывается удобным принять дополнительное соглашение и считать, что

Часто формулу для числа перестановок приходится употреблять в «усеченном» виде.

Задача 3. Десять участников финала разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

Решение. Золотую медаль может получить любой из 10 участников. Если золотой призер уже определен, то серебряную медаль может получить любой из оставшихся 9 участников. Если первые два призера определены, то бронзовую медаль может получить любой из 8 оставшихся участников. Поэтому, воспользуемся правилом произведения, получим ответ

способов.

Решение этой задачи подводит нас к определению.

Размещения

Размещение – это набор из m различных элементов некоторого n-элементного множества, причем два размещения, отличающиеся порядком следования элементов, считаются различными. Стандартным обозначением для числа размещений m элементов из n является символ

. Число размещений вычисляется по формуле

Эту формулу можно переписать в виде

Рассмотрим небольшую модификацию предыдущей задачи.

Задача 4. Десять участников полуфинала разыгрывают три путевки в финал. Сколько существует вариантов формирования тройки финалистов?

Решение. Ответ предыдущей задачи придется отвергнуть. Действительно, тройки финалистов, отличающиеся порядком следования участников (например, Иванов, Петров, Сидоров и Петров, Иванов, Сидоров), следует считать одинаковыми. Фактически, ответ предыдущей задачи следует разделить на число возможных перестановок призеров, равное

Таким образом, число вариантов равно

Теперь мы можем перейти к одному из наиболее важных понятий комбинаторики.

Сочетания

Сочетание – это набор из m различных элементов некоторого n-элементного множества, причем два любых сочетания, отличающиеся порядком следования элементов, совпадают. Стандартным обозначением для числа сочетаний m элементов из n является символ

Число сочетаний вычисляется по формуле

В задачах комбинаторики числа

часто называют биномиальными коэффициентами. Это связано с тем, что они выступают в качестве коэффициентов в формуле бинома Ньютона