Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 2 из 10)
Граничные базисные функции заданы для всех узлов и СЭ в области
. Предполагается, что функции 
, 
, определенные на одном и том же ребре соседних СЭ 
и 
, на нем совпадают, т.е. 
, 
,для всех
и всех соседних СЭ , 
. Кроме того, на внешней границе 
необходимо удовлетворить главное граничное условие : 
, 
, 
.Каждая построенная граничная базисная функция
однозначно определяет функцию 
в СЭ . Она является решением задачи Дирихле следующего вида: 
в , 
на 
. Функции
, 
, задают базисные функции МКСЭ в СЭ 
. Базисные функции единообразно задаются в каждом из СЭ , 
, области расчета . Пример базисной функции показан на рис. 6. Он соответствует граничной базисной функции 
, заданной полиномом второго порядка (рис. 5). Представляет интерес дальнейшее рассмотрение вариантов МКСЭ при полиномиальной или сплайновой интерполяции.Заметим, что сингулярности решения задачи в окрестностях отверстий учтены посредством базисной функции с нулевым индексом
в каждом из СЭ. Остальные функции , 
, при наличии отверстия в СЭ обращаются в ноль на его границе согласно . Если в СЭ отверстия нет, то 
. 
При помощи построенного базиса решение исходной задачи внутри каждого отдельного СЭ разыскивается в следующем виде:
, . Таким образом определяется приближенное решение МКСЭ
во всей расчетной области 
. При этом неизвестные значения 
находятся с помощью обычного метода Бубнова-Галеркина при выборе функций 
в качестве базисных и пробных [3–12].В классическом случае эллиптических уравнений второго порядка при должных оговорках относительно гладкости границы, коэффициентов и граничных функций слабые решения принадлежат пространству Соболева
. Следы этих решений на границе 
суперэлементного разбиения области принадлежат пространству Соболева 
с полуцелым показателем гладкости [16; 18]. Выбор функции, аппроксимирующей след решения на границе разбиения в норме пространства 
, и применение МКСЭ приведут к приближенному решению, аппроксимирующему в 
точное решение.В предыдущих работах исследовано влияние выбора метода аппроксимации на границе разбиения на результирующую точность расчетов метода. Получены теоретические (априорные) оценки погрешностей метода в зависимости от способа приближения [10–12]. Неясным остался вопрос о сходимости или расходимости ошибок производных сильного решения разного порядка. Такое исследование изначально затруднено особым “нестандартным” видом получаемого приближенного решения МКСЭ и его ограничениями по гладкости.
Данная работа посвящена теоретическому анализу МКСЭ Федоренко. В ней рассмотрена регулярность приближенного решения, получена его асимптотика в углах суперэлементного разбиения. Она представляет как отдельный интерес, так и служит для получения оценок погрешности производных различного порядка. Результаты получены на примере задачи – .
2. Обозначения и определения
Будем предполагать наличие такой гладкости функции
в (2) и границы области , которые достаточны для того, чтобы искомое решение принадлежало 
[16; 23]. Сохраним далее введенные обозначения: 
– расчетная область (рис. 2), 
– граница СЭ 
, – совокупность всех суперэлементных границ, 
– общее число СЭ в области, 
– искомое и 
– приближенное решение МКСЭ.Как правило, СЭ
является многоугольником, так что необходимо учитывать тот факт, что принадлежит классу 
непрерывности. Будем рассматривать лишь случай, когда – граница многоугольника либо граница, состоящая из конечного числа гладких кривых. В таком случае 
, 
, где L – число сторон 
(или гладких частей границы) СЭ . Полагаем, что все вершины углов границы СЭ направлены во внешность области, то есть раствор углов не превышает π. Рассмотрим варианты МКСЭ, использующие полиномиальной либо сплайн-интерполяцию на границах СЭ. В случае сплайн-интерполяции обозначают те отрезки разбиения суперэлементных границ, на каждом из которых интерполянт представляет собой полином (L – их число).