Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 4 из 10)

Здесь и далее везде мы будем использовать оператор следа

, поэтому сделаем несколько замечаний о смысле данного определения.

Глобальное задание следа на границе

мы связываем с его стандартным определением. На пространстве оператор следа задан формулой . Если бы граница обладала бесконечной гладкостью, то было бы выполнено соотношение при любом значении . Для произвольной замкнутой липшицевой области оператор следа действует из пространства в , однозначно определен, ограничен и имеет ограниченный обратный только при выполнении условия . При этом, если , то область значений шире, чем , см. [31; 30; 34; 15; 27]. В случае для шкалы пространств Соболева в липшицевой области известно немного (то же и для более общего случая пространств Бесова), но, если , то действует из в [28; 14]. Кроме того, гармонические функции обладают дополнительной гладкостью, и имеет смысл рассмотрение случая пространств Бесова [29; 31].

Учитывая тот факт, что

– многоугольная область с границей, гладкой вне стратифицированных особенностей, далее возможно “улучшить” этот результат, вводя определение следа локально. Оператор следа определен только на каждой из L гладких частей (ребер) границы , . Локальное определение следа [26; 20] мы связываем именно с таким заданием, а именно: . Тогда локальный оператор при непрерывен и действует из в . Для следа на всей S: . Обозначение в зависимости от случая мы далее не меняем. Локальный след, очевидно, совпадает с глобальным, если последний корректно определен. При действии оператора на функцию из пространства Соболева с произвольным показателем гладкости считаем оператор следа локальным. Это необходимо учитывать, например, при использовании граничных интегральных уравнений и работе с ними. Локальные следы более высокого порядка также обладают общими свойствами на многоугольной границе, см., напр., [26]. В дальнейшем мы используем запись вида , которая является условным обозначением, и .

Нам понадобятся следующие пространства, обозначаемые через

:

,

для любых

, . При имеем определение пространства . В определение включено и условие . Рост показателя R характеризует увеличение гладкости функций из этого пространства на всех гладких частях суперэлементных границ. Поскольку для следа любой функции из пространства справедливо включение , то выполнено включение:

.

Обратное вложение при

на границе класса не имеет места. Кроме того, любая функция однозначно определена своим следом на S (см. напр., [32]).

3. Локальная гладкость приближенного решения МКСЭ

Если при аппроксимации решения в пространстве

для ошибки решения, очевидно, справедлива эквивалентность , то в пространствах более высокой гладкости , , и многоугольной границей разбиения подобное несправедливо. Более того, показатель гладкости произвольной функции на , имеющей гладкие следы на частях негладкой границы , ограничен сверху [13]. Это относится к регулярности решения задачи Дирихле в отдельном СЭ [32; 33; 24]. Ограничение по гладкости может оказаться достаточно жестким и связано с локальным поведением решения в суперэлементных углах. Показатель гладкости зависит как от гладкости правой части граничного условия на отдельных сторонах границы , их совместности в вершинах углов, так и от величины раствора углов, кривизны их сторон и вида исходного уравнения.

3.1. Свойства гладкости приближенного решения МКСЭ

Пусть Λ – один из углов СЭ с границей

раствора α, ; P – его вершина; – полярная система координат, связанная с Λ. В данном пункте мы рассмотрим преимущественно отдельный угол Λ, полученные таким образом результаты обобщаются на всю расчетную область.

Помимо самого приближенного решения

исследуем также его интерполянт . Отметим, что все полученные здесь результаты для справедливы и для приближенного решения , а коэффициенты в его разложении, указанные через интерполянт , должны быть заменены аналогичными, заданными через приближенное решение .