Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 5 из 10)

Интерполянт

МКСЭ в области СЭ является решением задачи:

в ,

на ,

где

, – граничный сплайн-интерполянт решения. Дальнейшие выкладки мы проводим в предположении, что следы совместны для всех углов Λ в СЭ так, что

,

и аналогично для приближенного решения:

,

где

и – отдельные стороны угла Λ, составляющие его границу и пересекающиеся в точке P.

Утверждение 1 . Пусть граничные базисные функции МКСЭ в некоторой окрестности угла Λ СЭ

, на его границах и , – полиномы порядка не выше ν. Интерполянт приближенного решения МКСЭ в этой окрестности представим в виде:

где

, , ,

, – коэффициенты решения (граничного полинома ) на границах , перед , . Аналогичное утверждение справедливо и для приближенного решения .

Доказательство. Будем искать решение задачи – в угле Λ СЭ как сумму решений

задач следующего вида:

в ,

на ,

где

– константы, . При этом на . Согласно [17, с. 47] асимптотика этой задачи в угле Λ такова:

Здесь коэффициенты разложения по переменной r (функции

, и ) бесконечно дифференцируемы по θ (*).

Получим представление интерполянта приближенного решения:

где

.

Уточним результат, рассмотрев константные коэффициенты разложений. Они представляют интерес для дальнейшего рассмотрения. Выбранные полиномиальные граничные значения бесконечно дифференцируемы в окрестности угла. Решение задачи согласно результату [17, с. 50] может быть найдено в виде:

Находим коэффициенты

, , , подставляя в задачу . Тогда

, , ,

где

, – коэффициенты граничных значений для различных сторон угла и соответственно. Граница соответствует значениям угла , и – значению .

Отметим, что в первой сумме выражения

. Суммирование по всем B дает разложение приближенного решения в области Λ (где символ B заменен на q):

с коэффициентами ,

, . Выпишем слагаемое при :

в обоих случаях принадлежности

. #

Замечание. Из проведенного рассмотрения следует также:

, при , ; в противном случае решение и ограничено.

Пример. Для угла квадратного СЭ значение

. Приближенное решение МКСЭ , а также его интерполянт в некоторой окрестности углов СЭ представимы в виде следующей конечной суммы:

при линейной интерполяции граничного решения

;

при любой полиномиальной интерполяции порядка выше единицы:

. #

Выражение определяет гладкость интерполянта приближенного решения

МКСЭ в соболевских пространствах. Если и , то нерегулярна по отношению к граничному условию так, что для произвольных , , . В противном случае решение в угле Λ обладает бесконечной гладкостью, поэтому приближенное решение в СЭ имеет максимальную гладкость по отношению к граничному условию на . То же относится к приближенному решению МКСЭ.