Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 7 из 10)

Нас интересует множество функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа в областях

, условиям и со следами класса , . Ранее оно было обозначено через . Вообще говоря, пространство в угле Λ содержит в себе набор весовых пространств “с неоднородной нормой” , см. [32], характеризующийся индексами , определенного диапазона. Уточнение асимптотики выражения – со следами из , , может быть выписано согласно [32, p.p. 284, 300]. А именно, в угле Λ справедливо представление:

,

где

, ; ; ; для некоторого . Слагаемое является полиномом от функции u порядка не выше . Функции , , – полиномы от переменной с коэффициентами (зависящими от ) класса . Функция обладает максимальной гладкостью по отношению к заданному граничному условию . Функция действует в пространство , . Из общих теорем вложения для данных весовых пространств (напр., [26]) следует, что для . При этом для функции u при справедливо условие .

Такое разложение достаточно громоздко, но содержит все необходимые нам факты, связанные с асимптотикой

в угле СЭ. Подчеркнем, что вид разложения является общим, его коэффициенты могут зависеть от раствора угла [33], величины R, граничных условий [37] и т.п.

Заметим, что для

, асимптотика содержит слагаемое , его гладкость не выше . Для в общем случае для решения справедливо соотношение . При этом , где – обозначение целой части числа. Если , то первая сумма содержит слагаемые только в случае угла .

Отсюда для пространства

следует вложение

.

Напомним, что из общего определения выполнено вложение вида

, .

Отметим, что достаточно хорошо известны результаты и оценки, связанные с сильным решением задачи Дирихле

в многоугольной области (см. [22; 23]). При этом достаточно легко заметить, что все соотношения в данных работах полностью согласуются с выписанным разложением . Мы не используем данные результаты, поскольку нас интересует весь диапазон возможной гладкости. Используем асимптотику либо её более общий вид . Последующие рассуждения относятся к уточнению таких оценок, что не представляется возможным, оставаясь лишь в рамках шкалы .

Введем ещё одно определение. Оператор следа m-го порядка

в пространстве задан соотношением

, ,

где n – внешняя единичная нормаль к границе

, . Оператор действует из в для , и допускает “обычное” расширение в слабом смысле, например, : для .

4. Оценки решения по шкале H^M(Ω)

Пусть задача – обладает гладким решением

, . Рассмотрим вопрос об аппроксимации первых производных , как и ранее, в норме пространства . Из того факта, что

,

следует, что нам нужны оценки погрешностей решения u в норме пространства

. Обобщая на произвольный порядок производных , , , можно исследовать поведение погрешностей решения u в нормах пространств и, следовательно, определяя свойства МКСЭ о приближении производных порядка в норме пространства Соболева .

Рассмотрим пример M = 2. Из гармоничности градиентов искомого и приближенного решений имеем

,

где, вообще говоря,

, так как условие совместности для градиентов не выполнено. Пункт 0 показывает, что в области СЭ , если , поэтому запись ошибки решения в норме корректна.