Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 8 из 10)
Запишем с использованием стандартных преобразований:
, где
– производная по направлению касательного вектора 
на отрезке 
; 
– след первого порядка 
на 
, см. .Если бы выражение для ошибки
допускало принадлежность классу 
, 
, 
, на отдельном отрезке , то стала бы возможной запись неравенства 
как следствие непрерывного вложения соответствующих пространств. Тогда слагаемые под знаком нормы в правой части выражения оценивались бы согласно “стандартным” выкладкам [10–12]. Заметим, что здесь нас интересуют не только априорные оценки погрешностей производных, но и сама сходимость производных приближенного решения МКСЭ к точному решению.Ясно, что
. Для следа первого порядка (нормальной производной) приближенного решения 
на отрезке нет точного аналитического выражения, оно известно лишь для следа 
. Можно определить регулярность 
лишь в окрестности узлов 
, благодаря пункту 0.Рассмотрим далее угол Λ, поэтому через
будем обозначать произвольную его сторону 
; как и ранее, P – вершина угла Λ.Несложно показать, что на границе угла
справедливо равенство: 
.Тогда из разложения для интересующего диапазона
получим следующий результат:
;
Отметим, что первым слагаемым, характерным для каждого из разложений и имеющим минимальный показатель 
(либо 
) является величина 
при 
, зависящая от переменной 
. Здесь также 
, поскольку 
.Перепишем полученные выражения, подставляя
во вторую сумму(*): 
Отсюда ясно, что в окрестности вершины P произвольного угла СЭ Λ раствора α справедливы соотношения: 
и 
для 
или производная 
регулярна, если 
.Более того, свойства гладкости
можно определить, воспользовавшись следующими результатами.Утверждение 3 [26]. Элемент
из пространства 
является образом некоторой функции 
в угле 
раствора α с вершиной P в результате действия согласно оператора 
, тогда и только тогда, когда выполнены соотношения 
, 
, 
,
и для 
, 
, выполнено некоторое интегральное условие, где 
– существующие конечные производные по отношению к касательным векторам 
для границы 
, 
.
В том случае, когда 
, условия – принимают вид:
, 
, 
, 
и для , 
,
, при 
. Отметим, что число условий совместности ограничено, несмотря на увеличение показателя s. Это связано с тем, что мы исследуем лишь величины
и 
; это число таким образом связано непосредственно с порядком рассматриваемой нормы M.Вариант
выписан для примера вследствие простоты записи. Не составляет труда перенести результаты на общий случай. Для квадратного СЭ 
с узлами и сторонами , 
, 
, справедливо утверждение.Утверждение 4 [26]. Пусть
и 
. Элемент 
, 
, 
, из пространства 
есть образ при отображении 
некоторой функции из пространства Соболева 
тогда и только тогда, когда для всех 
и для всех 
, , 
, выполнено