БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Выпускная работа по

«Основам информационных технологий»

Магистрант кафедры численных методов

и программирования ММФ БГУ

Дедков Даниил Юрьевич

Руководители:

Доктор физико-математических наук,

профессор Монастырный Петр Ильич

Старший преподователь Кожич Павел Павлович

Минск – 2008г.

Список обозначений ко всей выпускной работе

ДУ Дифференциальные уравнения

ИТ Информационные технологии

ОДУ Обыкновенные дифференциальные уравнения

Реферат на тему «Применение пакета Mathematica для математических вычислений»

Введение

Сегодня компьютеры берут на себя огромную долю вычислительной и аналитической нагрузки современного математика. Поэтому перед сегодняшними исследователями стоят и, главное, представляются разрешимыми совсем другие задачи, нежели пол столетия назад.

Благодаря огромной мощи компьютеров становится возможным моделирование и изучение сложных и динамичных систем, которые возникают при изучении космоса, поиске новых источников энергии, создании новых технических изобретений и многих других проблем, затрагивающих сферу научно-технического прогресса. Решение любой задачи подобного рода можно свести к выполнению следующей совокупности действий:

· математическое моделирование системы;

· построение вычислительного алгоритма;

· проведение расчетов;

· сбор и анализ полученных результатов.

Использование компьютерных математических пакетов позволяет:

· расширить диапазон реальных приложений;

· для наглядного анализа строить графики сложных функций и поверхностей, с помощью которых, например, оцениваются решения ОДУ, что существенно облегчает их анализ;

· сочетать профессиональную направленность, научность, системность, наглядность, интерактивность, межпредметные связи при решении ОДУ;

· мгновенно обмениваться информацией с человеком, физический контакт с которым невозможен, или трудно осуществим;

· рассматривать больше задач, благодаря сокращению количества рутинных преобразований;

· исследовать более сложные модели, так как громоздкие вычисления можно осуществить с помощью соответствующих компьютерных систем;

· уделять больше внимания качественным аспектам своей задачи.

Данный реферат посвящен использованию информационных технологий для математических вычислений на примере пакета Mathematica версии 5.0. Как пример для иллюстрации выбрано программирование численного решения ДУ 2-го порядка методом Рунге-Кутта и Нюстрема в данном пакете и сравнение полученных результатов с аналитическим решением, который строит Mathematica.

Глава 1. Обзор литературы

Основным литературным источником для изучения функциональных возможностей пакета Mathematica, как ни странно, является встроенная справочная система. Она обширна по своему содержанию, наглядна, поскольку в ней демонстрируются множество примеров эффективного использования пакета и удобна, поскольку обеспечивает пользователю удобный поиск и интеграцию с текущими рабочими задачами. Однако произвести изучение самостоятельно, что, естественно, возможно лишь при знании одного из языков локализации пакета достаточно сложно, не представляя всей той полной гаммы функций и задач, с которыми может справится пакет.

Когда пользователь решает начать использование пакета, ему необходимы набор минимальных, общих знаний о том, как пользоваться пакетам, как вводить данные, как получать результаты, какое окружение необходимо для стабильной работы пакета и какие есть у самого пакета системные требования. Здесь стоит выделить работу В. З. Аладьева и М. Л. Шишкакова [1] по введению в среду пакета, его инсталляции, разбор основных компонентов, особенности использования и основам применения. Ещё необходимо также выделить тему 1 и тему 2 из работы Л. Л. Голубевой, А. Э. Малевича, Н.Л. Щеголовой [2], которые освещают основные логические компоненты среды и гарантирует плодотворное знакомство с пакетом, а также с такими базовым объектами как:

· выражение;

· образец:

· символ;

· списки;

· программирование и функциональное программирование;

· вычисления;

· управления вычислениями;

· базовые графики.

Дифференциальные уравнения – это один из наиболее часто встречающихся математических объектов. Умение их применять и решать – это то, что нужно практически любому математику в той или иной форме для эффективной научной деятельности. В работе А. Н. Прокопеня, А. В. Чичурина [3] детально рассматриваются методы интегрирования дифференциальных уравнений с использованием Mathematica для символьных вычислений и преобразования уравнений к виду, удобному для интегрирования.

Работа также содержит многочисленные примеры, показывающие, что при объединении теории дифференциальных уравнений с возможностями пакета Mathematica удаётся проинтегрировать даже те уравнения, которые не возможно решить при помощи только встроенных функций пакета, а также примеры для выполнения численных и символьных вычислений и визуализации математических объектов.

Безусловно, я не могу не упомянуть о классиках современной вычислительной математики А. А. Самарском [4], В. И. Крылове, П. И. Монастырном [5], в трудах которых сконцентрирована масса научной информации о численных методах решения дифференциальных уравнений и задач, связанных с ними, к которым мы позже обратимся.

Глава 2. Основные возможности пакета Mathematica

Немного истории для тех, кто недостаточно хорошо знаком с рассматриваемым в данной работе средой символьных вычислений Mathematica.

Она разработана компанией Wolfram Research Inc, основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы, появившаяся в 1988 г, стала новым словом в автоматизации математических расчетов.

Mathematica отличается охватом широкого круга задач, так как ее разработчики задались целью объединить все известные математические методы, использующиеся для решения научных задач, в унифицированном и согласованном виде, включая аналитические и численные расчеты.

За основу был взят специально разработанный язык символьного программирования, который способен оперировать очень широким спектром различных объектов с применением небольшого числа базисных конструкций. Однако программа не приобрела большой популярности из-за того, что ее сложно было освоить и невозможно работать без использования объемной документации. Только в 1991 г., после выхода в свет второй версии, в которой разработчики устранили многие ошибки предыдущей версии, а также применили более дружелюбный интерфейс и включили подсказки по встроенным функциям, программа начала быстро завоевывать популярность. А к моменту выхода Mathematica 3.0 уже было зарегистрировано более миллиона постоянных пользователей программы.

Интерфейс

Программа состоит из двух частей — ядра, которое, собственно, и производит вычисления, выполняя заданные команды, и интерфейсного процессора, который определяет внешнее оформление и характер взаимодействия с пользователем и системой. Основной рабочий документ программы — тетрадь, в которой пользователь записывает все выкладки. Вид рабочей тетради на экране монитора зависит от интерфейсного процессора, реализация которого для разных платформ несколько отличается.

Пользовательский интерфейс программы Mathematica 5.0 сначала кажется несколько примитивным: инструментальная панель — это просто строка меню, а отдельное окно документа выглядит как бы подвешенным. Кроме того, на инструментальной панели отсутствуют кнопки для выполнения часто повторяемых операций, которые были в предыдущей версии.

Однако впечатление примитивности интерфейса сразу же исчезает, когда выясняется, что можно подключать настраиваемые кнопочные палитры, которых в программе имеется больше десятка. С их помощью можно выполнять различные функции, а часть кнопок соответствует специальным символам. Всего в программе более 700 математических, языковых и других символов. При нажатии на кнопки с символом последний переносится в рабочий документ на указанное курсором мести. Другие кнопки палитры соответствуют наименованиям ряда функций программы, которые при выборе вводятся в командную строку. При нажатии кнопки алгебраических преобразований предварительно выделенное алгебраическое выражение трансформируется в соответствии с названием выбранной команды, например упрощается командой simplify.

Программа позволяет применять различные стили для оформления документа на экране и вывода его на печать, причем в новой версии стилей может быть значительно больше, чем в предыдущей. Для их изменения предусмотрена специальная палитра.

«Применение пакета Mathematica для математических вычислений» (стр. 1 из 4)