Тема 24. Преобразование гильберта-хуанга судьба новой истины такова: в начале своего существования она всегда кажется ересью (стр. 3 из 4)
Останов итераций по нормализованной квадратичной разности (24.2.3) исторически был первым по применению. В 2003 г. Quek [4] предложил другой, более эффективный критерий переменной меры, определенной как
d = Sk |hi-1(k) - hi(k)|2 / Sk hi-12(k). (24.2.3)
Пример изменения значений d в процессе итераций приведен на рис. 24.2.4.
Однако для сложных и объемных (по количеству отсчетов) сигналов в процессе итераций может изменяться количество выделяемых экстремумов (появление ранее «скрытых» экстремумов), при этом наблюдаются скачки значения d в большую сторону, начиная с которых снова начинается процесс уменьшения d, а общее количество итераций может увеличиваться до 20-30 без существенного повышения качества отсеивания. Опыт показывает, что для оптимальных отсеиваний число итераций порядка 6-8 является вполне достаточным. Все большее применение находит и другие критерии останова процесса отсеивания, ориентированные на характер и особенности обрабатываемых данных, и останов по нескольким критериям с заданием определенных логических условий по их соотношению (например, по порогу d, но не более J-итераций, и т.п.).
 Рис. 24.2.5. |
Последнее значение hi(k) итераций принимается за наиболее высокочастотную функцию с1(k) = hi(k) семейства IMF, которая непосредственно входит в состав исходного сигнала y(k). Это позволяет вычесть с1(k) из состава сигнала и оставить в нем более низкочастотные составляющие (показано на рис. 24.2.5):
r1(k) = y(k) – c1(k). (24.2.4)
Функция r1(k) обрабатывается как новые данные по аналогичной методике с нахождением второй функции IMF – c2(k), после чего процесс продолжается:
r2(k) = r1(k) – c2(k), и т.д. (24.2.5)
Таким образом, достигается декомпозиция сигнала в n – эмпирическом приближении:
y(k) =
cn(k)+rn(k). (24.2.6)  Рис. 24.2.6. |
Полный алгоритм EMD приведен на рис. 24.2.6.
Критерии останова процесса декомпозиции сигнала могут быть следующими:
1. Остаток rn(k) не содержит экстремальных точек, т.е. становится либо константой, либо монотонной функцией, из которой больше не может быть извлечено функций IMF.
2. Остаток rn(k) во всем интервале задания сигнала становится несущественным по своим значениям по сравнению с сигналом и не представляет интереса для анализа.
3. Так как суммирование всех функций IMF (реконструкция сигнала) должно давать исходный сигнал, то можно останавливать разложение заданием относительной погрешности среднеквадратической реконструкции (без учета остатка rn(k)) .
4. По мере увеличения количества функций IMF относительная среднеквадратическая погрешность реконструкции достаточно сложных и протяженных сигналов уменьшается, но, как правило, имеет определенный минимум. По-видимому, это определяется попытками алгоритма разложить остаток на функции, частично компенсирующие друг друга. Соответственно, останов программы может выполняться, если следующая выделенная функция IMF увеличивает погрешность реконструкции.
Другими словами, остановка декомпозиции сигнала должна происходить при максимальном «выпрямлении» остатка, т.е. превращения его в тренд сигнала по интервалу задания с числом экстремумов не более 2-3. Даже для данных с нулевым средним значением конечный остаток может отличаться от нуля. Чтобы применять метод EMD, центрирования данных не требуется, метод нуждается только в локализациях экстремумов. Нулевая линия для каждого компонента декомпозиции будет сформирована процессом отсеивания. Извлеченные IMFs локально симметричны, имеют физически значимые функции мгновенных частот, различные IMFs не показывают ту же самую частоту в то же самое время. Каждая IMF содержит более низкие частотные составляющие, чем извлеченная перед ней.
На рис. 24.2.7 приведен пример полной декомпозиции сигнала с остановом по критерию 1. На верхнем графике рисунка приведен входной сигнал преобразования (красным) и сигнал обратной реконструкции (пунктиром) суммированием функций разложения ci (c1-c5).
 Рис. 24.2.7. |
Компоненты EMD обычно физически значимы, поскольку характеристические параметры функций IMF определяются материальными данными.
Ортогональность базиса декомпозиции. Таким образом, входной сигнал y(k) в соответствии с выражением (24.2.6) раскладывается по базису, который, не определен аналитически, но удовлетворяет всем традиционным требованиям базиса. На основании проверки на модельных и опытных данных он является:
- законченным и сходящимся (сумма всех функций IMF и остатка равна исходному сигналу и не зависит от критериев останова итераций),
- ортогональным (все IMF и остаток ортогональны друг другу),
- единственным.
И, что самое главное – он является адаптивным, так как получен непосредственно из анализируемых данных эмпирическим методом.
Ортогональность базиса может быть проверена скалярным произведением любых пар компонентов IMF. Сумма (24.2.6) всех компонентов IMF, включая остаток, должна реконструировать входной сигнал и может использоваться для определения ошибки декомпозиции. Как правило, наибольшие локальные ошибки декомпозиции наблюдаются на концевых участках входного массива данных. Для исключения ошибок рекомендуется задавать интервалы начальных и конечных условий, а сигнал на этих интервалах формировать какой-либо функцией прогнозирования, или продлевать (четно или нечетно) функцией самого сигнала.
Н. Хуанг утверждает также, что базис разложения является единственным. Но это утверждение можно считать спорным. Эмпирический процесс разложения сигнала в силу своей адаптивности неуправляем, по крайней мере, в настоящей форме. Даже монотональные составляющие многокомпонентного сигнала при определенном влиянии дестабилизирующих факторов (шумов, импульсных помех и т.п.) и близких по частоте соседних компонент могут при декомпозиции «перетекать» на отдельных временных интервалах в модовые функции соседних IMF.
Примеры практического применения EMD. В качестве примера в работе /3/ приводится EMD-анализ данных девиации периода вращения Земли. В результате исследований всем выделенным функциям IMF сопоставлены определенные физические процессы, которыми и вызвано их формирование (влияние штормов и тайфунов, месячных вариаций мощности приливов, явления Эль-Ниньо и прочие факторы). Ниже, без комментариев, приводятся выборки из результатов данного анализа, демонстрирующие свойства базиса.
Рис. 24.2.8. Данные.
Рис. 24.2.9. Семейство IMF.
Рис. 24.2.10. Данные и с12 IMF.
Рис. 24.2.11. Данные и сумма с10+с11+с12.
Рис. 24.2.12. Детализация данных и сумма с8+с9+с10+с11+с12.
Рис. 24.2.13. Детализация данных и сумма с7+с8+с9+с10+с11+с12
Еще один пример из этой же работы /3/.
Рис. 24.2.14. Глобальная температурная аномалия. Ежегодные данные с 1856 до 2003.
Рис. 24.2.15. Средние значения IMF за 10 просеиваний: СС(1000, I)
Рис. 24.2.16. Данные и тренд C6.
24.3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ГИЛЬБЕРТА (HSA) /1,2/
IMF, определенные вышеприведенным способом, допускают вычисление физически значимых мгновенных частот, что дает возможность создать частотно-временное представление сигнала на основе преобразования Гильберта.
Спектр мгновенных частот Гильберта. После выполнения преобразования Гильберта на каждой компоненте IMF первоначальные данные x(t) могут быть выражены как вещественная часть комплексной формы в следующем виде:
(24.3.1)Здесь, остаток rn не учтен, поскольку это постоянная или монотонная функция. В отличие от преобразования Фурье, здесь и амплитуда aj(t), и мгновенная частота wj(t) являются функцией от времени. На рис. 24.3.1 приведено сопоставление частотно-временного представления модельного сигнала в трех представлениях.