1. 1 Биомеханика (стр. 8 из 13)

Данная формула справедлива только в том случае, если компоненты массовой силы k_x, k_y, k_z равномерно распределены по поперечному сечению с координатой х, а также при постоянной по сечению плотности.

(3.2.9)

Последние два интеграла представляют собой работу сосредоточенной силы и сосредоточенного момента, которые являются главным вектором и главным моментом распределенной по торцу нагрузки q. [30]

(3.2.10)

,

Приведенные рассуждения показывают, что распределенные по торцам нагрузки действительно можно заменить их главными векторами и главными моментами относительно центра тяжести поперечного сечения.

Проделаем аналогичное рассуждение для произвольного поперечного сечения с текущей координатой х и рассмотрим работу нагрузок, распределенных по боковой поверхности стержня.

(3.2.11)

q_t = `q×`n(r)

Распределенными изгибающими и крутящими моментами для тонких стержней обычно пренебрегают в силу малости этих величин, имеющих порядок m_x, m_y, m_z ~

где а – характерный поперечный размер стержня.

В дальнейшем при построении варианта метода конечных элементов для расчета стержней и стержневых систем будем использовать формулировку вариационного принципа (3.2.8), пренебрегая распределенными моментами m_x, m_y, m_z.

Будем рассматривать вариант метода конечных элементов в перемещениях на основании вариационного уравнения Лагранжа. Будем считать, что конечно-элементная сетка задана, т.е. установлено соответствие между номерами узлов и номерами конечных элементов и определены координаты узлов. Для каждого конечного элемента будем считать заданными функции формы так, что перемещение произвольной точки, принадлежащей конечному элементу, однозначно определяется перемещениями его узлов

`u(`r) = [Ф(`r)]`q_n, `r Î v_n (3.2.12)

v_n – многогранник, определяющий конечный элемент. Введем в рассмотрение векторы напряжений и деформации

`s = {s₁₁ s₂₂ s₃₃ s₁₂ s₂₃ s₁₃}

`e = {e₁₁ e₂₂ e₃₃ e₁₂ e₂₃ e₁₃} (3.2.13)

так, что произведение этих двух векторов дает работу

dA(r) = d`e <sup>T</sup>`s (`r )

`r – радиус-вектор произвольной точки.

3.5 Конечный элемент стержня в локальной системе координат.

Благодаря тому, что выбранная система координат включает в себя главные центральные оси инерции поперечного сечения, вариационный функционал Лагранжа можно разделить на 4 части, каждая из которых будет включать в себя единственную искомую функцию

(3.3.1) (растяжение/сжатие)

(3.3.2) (кручение)

(3.3.3)

(оба изгиба в главных плоскостях поперечного сечения).

В силу независимости вариационных уравнений (3.3.1 – 3.3.3) четыре сформулированные уравнения можно решать раздельно. [1]

Простейшей формой конечного элемента является стержень с двумя узлами.

1) При выборе функции формы для такого конечного элемента ограничимся полиномами, степень которых обеспечивает ненулевые производные необходимого порядка: для растяжения/сжатия и кручения минимальная степень полинома равна 1, для изгиба - 2.

v(x) = u₁(1 – x/l) + u₂x/l - для растяжения/сжатия (3.3.4)

j(x) = j₁(1 – x/l) + j₂x/l - для кручения

Для изгиба удобнее выбирать полиномы третьей степени, причем в качестве основных неизвестных следует задавать поперечные перемещения узлов и углы поворота узловых сечений. [13]

v(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³

v(x) = v₁ P₁(x) + J₁lP₂(x) + v₂ P₃(x) + J₂lP₄(x)

P₁(x) = 1 - 3x² + 2x², где x = x/l

P₂(x) = x(1 - x)²

P₃(x) = x²(2 - 3x)

P₄(x) = x²(x - 1) (3.3.5)

Матрица градиентов для этих случаев представляет собой скалярные операторы:

Вектор деформации:

Работа внутренних сил при растяжении:

Матрица жесткости в локальных координатах:

Для плоского изгиба матрица дифференциальных операторов имеет вид

Матрица градиентов функции форм:

Матрица жесткости при изгибе:

(3.3.6)

Момент инерции в этой формуле выбирается в зависимости от плоскости изгиба.

Рассмотрим элементарную работу распределенных нагрузок. Для растяжения/сжатия

Если нагрузка p_x постоянна, то выражение для вектора х можно вычислить аналитически