Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики 2000 г (стр. 5 из 12)

Рассмотрим (рис. 9) проводник, изогнутый в виде прямоугольной рамки, помещенный в однородное магнитное поле с постоянной по величине и направлению в каждой точке пространства индукцией B. (Пусть этот проводник (он же рамка) свободно подвешен на неупругой нити). В отсутствии тока он (проводник-рамка) находится в положении безразличного равновесия.

В процессе вывода соотношения для момента магнитной силы (как и многих других соотношений электромагнетизма) можно убедиться в том, что удобно ввести новую характеристику магнитного поля – магнитный момент контура с током - P_m. В случае плоского контура

P_m=JSn, (10)

где J – ток в контуре, S – площадь контура, n – орт (орт это единичный вектор) положительной нормали. (Нормаль считается положительной, когда из конца вектора P_m, направление которого совпадает с направлением n (в силу равенства (10)), ток в контуре виден текущим против часовой стрелки).Удобство введения физической величины – вектора магнитного момента P_m состоит в том, что произведение JSn достаточно часто встречается в физических законах электромагнетизма. Размерность магнитного момента определяется из (10) [P_m]=A×м².

При пропускании через рамку постоянного тока, силы магнитного поля стремятся повернуть ее (рамку) таким образом, чтобы ее собственный магнитный момент совпал с направлением вектора индукции магнитного поля B. (О направлении силовых линий магнитного поля как раз и можно судить по ориентации в этом поле рамки с током. Плоскость рамки устанавливается перпендикулярно направлению B, причем из конца этого вектора ток в рамке виден идущим против часовой стрелки.) Возникает момент магнитных сил, действующих в однородном магнитном поле на прямоугольную рамку. Разберемся каким образом он (момент магнитных сил) возникает и рассчитаем его.

Обозначим стороны, которые лежат в плоскостях параллельных B, буквой b, а стороны, перпендикулярные B, буквой a. Силы F₁ и F₃, действующие на прямолинейные проводники 1-2 и 3-4, направлены перпендикулярно плоскости рисунка в противоположные стороны, но не вдоль одной линии действия, поэтому эти силы создают крутящий момент. (На рисунке 9, б показан вид рамки сверху). По закону Ампера обе эти силы численно равны величине, модуль которой рассчитывается с помощью соотношения (6) (проверьте, что в нашей задаче выполнены условия реализации соотношения (6))

F₁ = F₃=JaB (11)

Силы F₂ и F₄, приложены к проводникам 2-3 и 4-3, направлены вдоль одной прямой (вдоль оси рамки), уравновешивают друг друга

Рис.9

F₄= JbBsin(90-a)) и крутящего момента не создают.

Результирующий вращающий момент M, действующий на рамку, равен моменту пары сил F₁ = -F₃, который рассчитывается так: M= [F₁,l]. (12)

По модулю плечо момента сил l=bsina. Подставляя в (12) значение плеча и силы, получаем:

M=JaB bsina= JabBsina= JSB sina=P_mBsin(P_mB) (13)

Таким образом, по определению векторного произведения модуль момента сил рассчитывается как векторное произведение двух векторов P_m и B.

Определим порядок этих векторов в векторном произведении. (Векторное произведение некоммутативно, т.е. от порядка записи векторов зависит его знак, который (знак) соответствует направлению их произведения вдоль оси перпендикулярной пло-скости, в которой лежат эти вектора в ту или другую сторону).

Вращение рамки под действием пары сил F₁ и F₃ происходит вокруг вертикальной оси, перпендикулярной P_m и B (рис 9, б). Вектор вращающего момента M направлен вдоль оси вращения так, что из его конца вращение рамки под действием пары сил F₁ и F₃ видно происходящим против часовой стрелки (на рис. 4, б вектор M направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Чтобы убедиться в этом, повторите правило определения направления вектора момента сил, изученное в механике). Исходя из общего правила определения направления векторного произведения, чтобы направление М было верным, необходимо рассчитывать его так: M=[ P_m, B]. (14)

3.4. Поток вектора магнитной индукции

Поток любого вектора через элементарную площадку определяется одинаково. Вспомним общее правило определения потока на примере потока вектора магнитной индукции dФ (см.рис.9)

dФ=(BdS)=BdScos(Bn)= BdScos(a)= B_ndS (15)

4, б вектор M направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Чтобы убедиться в этом, повторите правило определения направления вектора момента сил, изученное в механике). Исходя из общего правила определения направления векторного произведения, чтобы направление М было верным, необходимо рассчитывать его так:

M=[ P_m, B]. (14)

3.4. Поток вектора магнитной индукции

dФ=(BdS)=BdScos(Bn)= BdScos(a)= B_ndS (15)

здесь n – орт нормали к площадке dS, dS=n×dS; а – угол между направлением вектора индукции магнитного поля B и нормалью к площадке dS; B_n – проекция вектора магнитной индукции на нормаль к площадке dS.

Полный поток вектора B через поверхность S:

(16)

(При вычислении этого интеграла необходимо выбрать положительное направление нормали по одну сторону от поверхности.)

Если поле однородно, а поверхность плоская, то Ф= B×Scos(B,n).

Если при этом (при однородном поле) B параллельно n (т.е. S перпендикулярно B), то

Ф= B×S (17)

Размерность магнитного потока определяется из (17) и носит особое наименование. В СИ это Вебер – Вб=Тл×м².

3.4. Работа, совершаемая магнитным полем над проводником с током

а) работа, совершаемая при перемещении проводника с током в однородном магнитном поле

Пусть отрезок прямолинейного проводника длиной l, по которому течет ток J, переместился в однородном магнитном поле с индукцией B на расстояние dx в направлении, перпендикулярном силовым линиям поля, вдоль линии действия силы Ампера (рис. (10). Магнитная сила (сила Ампера) совершит при этом работу

dA=Fdxcos0⁰=Fdx=JBlsin90⁰dx= JBldx. Так как ldx=S, получим dA=JBdS=JdФ.

dA =JdФ (18)

(Выражение (18) справедливо и в общем случае относительного расположения проводника и поля, но доказательство этого выражения для общего случая достаточно громоздко, хотя не представляет принципиальной сложности и может быть прове

дено студентом самостоятельно

в качестве задачи). При равно-

Рис. 11 мерном движении про -

водника для конечного перемещения Dх можно записать

A =JDФ (19)

DФ – магнитный поток сквозь поверхность прочерчиваемую проводником в процессе его равномерного движения.

б) работа, совершаемая при перемещении в магнитном поле замкнутого контура с током

Получим выражение искомой работы так же, как впредыдущем разделе, для частного случая.

В случае осуществления условий движения, показанного на рис. 9 отрезки проводников с током – стороны b не совершают работы (движение происходит перпендикулярно к линии действия силы и угол а=90⁰, в выражении для работы dA=Fdxcosа превращает значение cosa в 0.) Отрезки а совершают работу, которую можно вычислить в соответствии с соотношением (17), причем работа проводника а будет положительной, а проводника b - отрицательной (косинус угла 180⁰между линией действия магнитной силы и перемещением Dх равен –1). Суммарная работа контура

А=J(Ф₁-Ф₂).

В однородном магнитном Ф₁=Ф₂поле DФ=Ф₁-Ф₂=0, DФ¹0 лишь в том случае, когда происходит изменение собственного потока, пронизывающего контур проводника. Таким образом, замкнутый контур в магнитном поле может совершать работу лишь в том случае, когда изменяется поток, пронизывающий этот контур. Cоотношения (18) и (20), совпадая по внешней форме, имеют глубоко различный физический смысл.

dА=JdФ (20)

Как показал эксперимент Фарадея, соотношение (20) останется в силе при любом способе изменения величины потока магнитной индукции. В следующем разделе рассмотрим пример вращения замкнутого контура с током в однородном магнитном поле.

б) работа, совершаемая при повороте замкнутого контура с током в однородном магнитном поле

Из курса механики известно, что

здесь M – вращающий момент сил, действующий на контур с током, a - угол поворота контура; поворот осуществляется от угла a₁ до a₂. В разделе 3.3 мы убедились в том, что