Методические указания к учебно-исследовательской работе (уирс) для студентов 2 курса физического факультета (стр. 2 из 2)
T=T(r). Из-за отсутствия радиального электрического тока
а 
В итоге из (6) следует
(9)где
Уравнение (9) следует решать с дополнительными условиями :
(10)
. (11)( A > 0 )
Равенство (11) выражает постоянство теплового потока Q через боковую поверхность определённой длины
бесконечного цилиндра:
(12)Уравнение (9) с учётом (10) – (11) в качестве решения даёт радиальный профиль температуры T = T(r) , знание которого позволяет восстановить вольт-амперную характеристику ( ВАХ ) . Действительно, с учётом (8) ток
(13)Выражая величину 1/T из уравнения (9) и подставляя её в (13), получим после интегрирования
(14)В (14), как и в (11), константа А не является произвольной: в стационарном случае протекания тока всё выделяющееся в единицу времени джоулево тепло в конечном объёме бесконечно длинного проводника должно отводиться через боковую поверхность в окружающее пространство. Рассматривая длину
проводника, с учётом (11) и (12) будем иметь:
(15)или с учётом (8)
(16)Равенство (16) в неявной форме представляет зависимость константы А от
, так как решение T = T(r) уравнения (9) зависит через последнее от 
и через (11) от A.Таким образом, если поддерживается постоянной температура Т0 боковой поверхности , то при стационарном протекании тока по проводнику в нём устанавливается такое распределение температуры T = T(r) по радиусу r, чтобы выполнялись равенства (9) – (11) и (16). Решение T = T(r) и константа А зависят от
как от параметра, так что (13) или (14) представляют искомую вольт-амперную характеристику. При этом, как следует из уравнения (9), если 
( слабые поля ), то 
, т.е. согласно (13) 
( выполняется закон Ома (2) в интегральной форме ). При произвольных вследствие зависимости T = T(r) от ВАХ (13) является в общем случае нелинейной. В противоположном предельном случае
<< R ( тонкий диск ) температура T зависит только от z: T = T(z), причём T(0) = T0 и T(l) = T1 . Обращаясь к уравнениям (6) – (7), получаем для T(z) следующее нелинейное интегро-дифференциальное уравнение:
(17)При выводе (17) были использованы следующие из (7) равенства:
Вольт-амперная характеристика:
(18)В (18) T(z), являясь решением уравнения (17), зависит от U как от параметра. Поэтому ВАХ (18), вообще говоря, нелинейна. В пределе
из (17) при T0 = T1 следует, что T = Const = T0 , т.е. (18) переходит в (2) – обычный закон Ома в интегральной форме.Уравнения (9) и (17) являются нелинейными дифференциальным и интегродифференциальным уравнениями, которые следует решать численно с использованием средств компьютерной техники. Так, для решения уравнения (9) выбирается малый шаг h изменения радиальной переменной r, так что ( по Тэйлору ):
(19)В (19)
выражается из уравнения (9), поэтому
(20)Равенства (19) – (20) составляют ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (9). При этом следует отметить, что константа А, определяющая
, для каждого значения 
ищется методом подбора с целью удовлетворить равенству (16). В частности, задача (9) – (11), (16) может решаться методом последовательных приближений: сначала в (16) полагается T(r) = T0 , далее находится A и решается уравнение (9) с начальными условиями (10) – (11). Найденное решение 
вновь подставляется в (16) и вся процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность в определении величины А.Уравнение (17) можно решать методом итераций следующим образом. При малых напряжениях ( U
), как следует из (17),
(21)С (21) вычисляется интеграл в (17):
(22)Подставляя (22) в (17), получим ( уравнение гармонического осциллятора )
(23)Решением (23) на 1-ой итерации является
(24)Начальные условия T(0) = T0 и T(l) = T1 позволяют найти константы
Вычисляя с (24) интеграл 
в (17), находим новое значение 
и т.д. Число итераций n можно ограничить требованием 
, где 
- наперёд заданная точность определения T, например, 
Итерационную процедуру необходимо осуществлять при каждом фиксированном значении U из определённого интервала
в котором и определяется ВАХ по формуле (18).В заключение следует подчеркнуть, что рассмотренная задача усложняется, если учитывать термодинамическую неравновесность и связанные с нею перекрёстные эффекты, как, например, перенос тепла не только за счёт механизма теплопроводности, но и за счёт дрейфа носителей заряда ( электронов ) под действием электрического поля (градиента потенциала) [1] . Кроме того, отвод тепла возможен и за счёт электро-магнитного излучения, что ещё в большей степени усложняет картину протекания электрического тока по металлическому протяжённому проводнику.
Задание
Найти радиальное распределение температуры металлического образца при прохождении электрического тока в случаях:
А) бесконечно длинного металлического проводника (
)(значения
задаются по указанию преподавателя);В) короткого проводника большого диаметра (
)(значения
задаются по указанию преподавателя).СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. М., 1973.
2. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. М., 1978.
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М., 1977. Т.3.