ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОЙ МОЩНОСТИ
В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Методические указания
к лабораторной работе
Дисц. « Оптимизация режимов работы энергосистем », спец. 1001, 4 курс д/o
1 Цель работы
Целью лабораторной работы является овладения навыками расчета опти –
мального распределения активной мощности в теплоэнергетической систе-
ме при различных режимах работы системы: режим учета потерь в линиях,
режим без учета потерь в линии, режим ограничения передаваемой мощь –
ности по линии электропередачи.
2 Программа работы
2.1. Самостоятельно изучить метод Лагранжа и принцип расчета оптималь-
ного распределения активной мощности в теплоэнергетической системе по
этому методу. [1, ]
2.2. Самостоятельно изучить метод штрафных функций и применение его
для решения оптимизационных задач в сетях имеющих ограничение пере –
даваемой мощности.
2.3. Произвести расчет исходных данных необходимых для расчета.
2.4. С помощью программы расчета оптимального распределения активной
мощности произвести расчет для трех заданных режимов работы энерго –
системы.
2.5. По результатам расчетов сделать выводы.
3. Краткие теоретические сведения
3.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
При решении задач оптимизации режима широко применяется метод не –
определенных множителей Лагранжа, при этом вместо условий экстрему –
ма функции F( х1, х2, …. . хn ) связанных между собой уравнениями свя –
зи, находятся условия экстремума функции Лагранжа:
S = F + å li *Wi
где li – постоянный множитель при отыскании экстремума функции F
Эти множители называются неопределенными множителями Лагранжа
Приравняв к 0 частные производные от S по всем n переменным, полу –
чим следующую систему уравнений:
¶S/¶Х1 = ¶F/¶Х1 + å li *¶W/¶Х1 = 0
¶S/¶Х2 = ¶F/¶Х2 + å li *¶W/¶Х2 = 0
¶S/¶Хn = ¶F/¶Хn + å li *¶W/¶Хn = 0
Количество уравнений равно количеству неизвестных это дает возмож –
ность найти аргументы соответствующие экстремуму функции F. Чтобы
найденный экстремум действительно имел бы минимум, необходимо про –
верить знак второго дифференциала функции F и S, тоесть если
d2S > 0
d2F > 0
то данный экстремум является минимумом.
Оптимальное распределение активной мощности при å РН = const
DРН = const
Обозначим через Т минимум капитальных затрат. Искомыми являются значения активных мощностей отдельных электростанций: Р1 , Р2 , Р3 ….. Рn
где n – количество электростанций, где затраты зависят только от выработ-
ки активной мощности. Считаем что все электростанции являются тепло –
выми. Уравнение связи:
W = Р1 + Р2 + Р3 +……+ Рn
При этом функция Логранжа запишеться следующим образом:
S = Т - å li *W
Условию экстремума соответствует равенство нулю частных производных по всем n переменным:
¶S/¶Р1 = ¶Т/¶Р1 + l *¶W/¶Р1 = ¶Т/¶Р1 + l = 0
¶S/¶Р2 = ¶Т/¶Р2 + l *¶W/¶Р2 = ¶Т/¶Р2 + l = 0
¶S/¶Рn = ¶Т/¶Рn + l *¶W/¶Рn = ¶Т/¶Рn + l = 0
Из этого выражения видно, что
- l = ¶Т/¶Р1 = ¶Т/¶Р2 =……. = ¶Т/¶Рn
Виду того, что Т = Т1 + Т2 + ……. + Тn
(затраты равны сумме по всем электрическим станциям)
это выражение можно записать следующим образом:
¶Т1/¶Р1 = ¶Т2/¶Р2 =……. = ¶Тn/¶Рn
Частная производная от затрат на каком либо агрегате или электростанции по активной мощности агрегата или электростанции называется удельным
приростом затрат агрегата или электростанции и обозначается e
e = ¶Тi /¶Рi
удельный прирост затрат зависит от величины активной мощности. В этом
случае условие оптимального распределения мощности между электростанциями
d2S = d2Т + l*d2W
d2Т = ¶Т1/¶Р12*(dР12) + ¶2Т2/¶Р22*(dР2) + ………. + 2*¶2Т1/(¶Р1*¶Р2)*(dР1*dР2) +
+ 2*¶2Т2/(¶Р2*¶Р3)*(dР2*dР3) + ………
смешанные частные производные всегда будут равны нулю так как удель –
ный прирост одного агрегата не зависит от мощности второго агрегата, тогда
d2Т = ¶Т1/¶Р12*(dР12) + ¶2Т2/¶Р22*(dР2) + ……….
d2W = ¶W/¶Р12*(dР12) + ¶2W/¶Р22*(dР2) + …..…. + 2*¶2W/(¶Р1*¶Р2)*(dР1*dР2) +
+ 2*¶2W/(¶Р2*¶Р3)*(dР2*dР3) + ………
В этом случае смешанные частные производные также будут равны нулю,
ввиду того, что
¶W/¶Р1 = 1 , ¶W/¶Р2 = 1 …….
тогда ¶2W/¶2Р1 = 0 , ¶2W/¶2Р2 = 0 ……… следовательно d2W = 0
тогда условие d2S > 0 имеет место если
¶2Т1/¶Р12 > 0 ¶2Т2/¶Р22 > 0 ………. ¶2Тn/¶Рn2 > 0таким образом если из неубывающих кривых e1 = e2 =……… = en хотябы
одна является возрастающей, то условие d2S > 0 имеет место, тоесть этоозначает что удельные приросты не снижаются при росте активной мощ –
ности а хотя бы у одного из агрегатов возрастают.
Пусть суммарные потери активной мощности в сетях зависят только от ве–
личины активных мощностей электростанций.
DР = f ( P1 , P2 …….. Pn ), тогда условия оптимального распределения мощ –
ности можно записать следующим образом:
¶S/¶Р1 = ¶Т/¶Р1 + l *¶W/¶Р1 = e1+ l*( 1- ¶DР/¶Р1 ) = 0¶S/¶Р2 = ¶Т/¶Р2 + l *¶W/¶Р2 = e2+ l*( 1- ¶DР/¶Р2 ) = 0
¶S/¶Рn = ¶Т/¶Рn + l *¶W/¶Рn = en+ l*( 1- ¶DР/¶Рn ) = 0
откуда m = - l = e1/( 1 - ¶DР/¶Р1 ) = e2/( 1 - ¶DР/¶Р2 )
величина m называется удельным приростом энергосистемы при учете по –
терь в сетях, а величина ei/( 1 - ¶DР/¶Рi ) называется удельным приростом
i – ой электростанции с учетом потерь в сетях.
3.1. Метод штрафных функций.
Ограничения накладываемые на искомые переменные могут учитываться с
помощью так называемых штрафных функций. Этот прием основывается
на добавление к минимизируемой функции некоторой дополнительной ( штрафной ) достаточно большой по величине за пределами допустимого изменения переменного и равной нулю в диапазоне от Хj min до Хj mах /рис.1/
Рисунок 1 Штрафная функция.
Штрафная функция не должна вносить посторонних решений, то есть при-
водить к появлению дополнительных локальных экстремумов минимизи –
руемой функции в области допустимых режимов. Последнее определяет
то, что в этой области штрафная функция должна быть вогнутой.
Шj = К1/2*( Хj - Хj min)2 при Хj < Хj min
Шj = 0 при Хj min < Хj < Хj mах