Методические указания к лабораторным работам №1,2,3,4 для студентов 3-го курса физико-технического факультета Екатеринбург (стр. 4 из 8)
Подставляя граничное условие
в (1.9), с использованием (1.15) находим
Учитывая, что из (1.9)
, получаем выражение для скорости с поправкой на скольжение
И, наконец, после усреднения данного выражения по высоте щели находим
(1.16)Из (1.16) видно, что скорость вязкого скольжения (второе слагаемое в скобках) направлена по направлению гидродинамического потока, а скорость диффузионного скольжения - в противоположную сторону.
Для определения разности давлений Dp необходимо приравнять выражения (1.16) и (1.7):
Принимая во внимание выражения для g и s12 (1.15), полученное соотношение приведем к виду
(1.17)Величину Dp находим интегрированием (1.17) по длине щели:
Интеграл в правой части после несложных преобразований приводится к табличному виду
В случае, когда процесс диффузии не приводит к заметному изменению концентраций в объемах, можно считать концентрацию легкого газа при х=l равной c=0, а при х=0 равной c=1. Кроме того, считая изменение концентрации вдоль щели линейным, коэффициент динамической вязкости h заменим на некоторый средний коэффициент
(при с=0.5).Учитывая вышесказанное, окончательно получаем:
Полученое выражение удобнее записать через молекулярные веса компонент смеси газов в виде:
(1.18)Здесь Dp - измеряемый перепад давлений, Н/м2; М1 и М2 - молекулярные веса легкого и тяжелого газов соответственно;
- коэффициент динамической вязкости газовой смеси, Нс/м2; D12 - коэффициент взаимной диффузии газов, м2/с; h- высота щели, м; R - газовая постоянная.1.3.Вывод формулы для расхода однокомпонентного газа
Для расчета теоретического значения величины бароэффекта необходимо знать высоту h щели, которую с достаточной точностью можно определить из экспериментальных данных с помощью формулы Пуазейля.
Рассмотрим систему, состоящую из двух объемов V1 и V2, которые соединены каналом (рис.1.3).
Полагаем, что объемы изменяются со временем. Это изменение вызвано прогибом мембраны оптического манометра, служащего для измерения разности давлений между объемами (рис.2.1).
Используя уравнение состояния для идеального газа в форме pV=(G/m)RT (где G-количество вещества в объеме V, m-молекулярный вес), условие сохранения количества молекул для объемов V1 и V2 можно записать в следующем виде:
 Рис.1.3. Принципиальная схема экспериментальной установки для определения расхода газа |
Здесь J - поток числа молекул через канал, соединяющий объемы, под действием разности давлений Dp=p2 - p1.
Разделим первое уравнение полученной системы уравнений на V1, а второе - на V2 и, вычитая из первого уравнения второе, получим
(1.19)Полагая, что изменение объемов пропорционально разности давлений, можно записать
DV=a(p2-p1)=aDp , V1=V10 - DV , V2=V20 + DV , J=bDp,
где V10 , V20 - начальные значения объемов; a - коэффициент пропорциональности; b - поток молекул при единичном перепаде давлений.
Подставляя приведеные соотношения в уравнение (1.19), после интегрирования его по t, находим:
. (1.20)Здесь Dp1 и Dp2 есть значения разности давлений Dp в момент времени 0 и t;
- среднее давление в системе.Нетрудно показать, что при достаточно близких значениях V1 и V2 второе слагаемое правой части (1.20) будет намного меньше первого и им можно пренебречь.
Умножив (1.20) на kT, получим формулу для объемного расхода Q:
, (1.21)где поправка на изменение объемов a, значения Dp1 и Dp2 определяются экспериментально.
С другой стороны, умножая выражение (1.16) для средней массовой скорости с учетом вязкого скольжения на ceчение щели bh, но, опуская cлагаемое, учитывающее диффузионное скольжение, и полагая c=1 в определении g (1.15) с учетом (1.12), получим теоретическую формулу для объемного расхода газа
Для того чтобы получить объемный расход для единичного перепада давлений, найденное соотношение необходимо умножить на p, а dp/dx заменить на Dp/l . Разделив
на Dp, получим
(1.22)Если использовать кинетическое определение коэффициента динамической вязкости h, то из (1.22) следует, что объемный расход газа можно записать в виде
i = 1, 2, ...n,
(1.23)Таким образом, если измерить расход газа при различных давлениях, то с помощью (1.23) можно вычислить коэффициенты
и 
.Наиболее вероятные значения
и дает метод наименьших квадратов из условия
где
и 
- теоретическое и экспериментальное значения расхода соответственно.Подставляя в полученное соотношение значение
из (1.23), имеем
(1.24)Дифференцируя (1.24) по
и и приравнивая частные производные нулю, получим систему уравнений для нахождения постоянных и :
(1.25)После решения системы (1.25) из соотношения (1.23) определяем искомые величины
и , из которых вычисляются высота щели h и константа скольжения s.2. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Схема экспериментальной установки приведена на рис.2.1.
Диффузионные камеры представляют собой два латунных сосуда 1 и 2 цилиндрической формы, разделенные фланцем 3, в который впаяна щель, образованная двумя плоскими стеклянными пластинками 5. Чтобы избежать смешения газов в момент напуска, щель запирается с помощью уплотняющего устройства 4.
Камеры соединены между собой байпасной трубкой с поворотным краном 8, позволяющей выравнивать давление в системе.
Абсолютное давление в системе измеряется образцовым вакуумметром 12.
Краны 6 и 10 служат для напуска газов в диффузионные камеры.
Разность давлений, возникающая при диффузии газов через щель, регистрируется с помощью оптического манометра 13.
Откачка газа из системы осуществляется форвакуумным насосом через краны 7 и 9.
Основные параметры установки приведены в табл. П.1.
3.МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКПЕРИМЕНТА
3.1. Задание
Ознакомиться с теорией и методикой измерения бароэффекта.
Измерить расход воздуха через щель для следующих давлений: 700, 500, 300, 200 мм рт.ст.
Определить высоту щели h и константу скольжения s. Оценить среднюю квадратичную ошибку в измерении h и s.