Методические указания к выполнению лабораторной работе (стр. 1 из 2)

Методические указания к выполнению лабораторной работе

«Построение двухфакторного эксперимента с использованием рототабельного центрально-композиционного плана»

по курсам «Планирование эксперимента»

для студентов специальности АСОИ иУ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение методики построения квадратичных моделей объектов на основе планов второго порядка, теории композиционного планирования.

Основные понятия

При исследовании экстремальной области часто интерес представляет оценка не коэффициентов полученной регрессионной модели, а самой функции отклика. Кроме того, на практике часто можно значительно упростить регрессионную модель путем поворота координатных осей, т.е. преобразованием координат. Рототабельное планирование, обеспечивающее погрешность предсказания выходной величины по уравнению регрессии, зависящую лишь от расстояния точки факторного пространства до центра эксперимента, позволяет предсказывать с одинаковой точностью значение функции отклика, а, следовательно, преобразовывать систему координат с целью упрощения уравнения регрессии.

Основным условием рототабельности планов является инвариантность нормированной информационной матрицы Ф и корреляционной матрицы Ф^-1 к вращению прямоугольных осей относительно начала координат, помещенного в базовую точку. Исходя из условия инвариантности матриц к вращению системы координат, точность оценок коэффициентов регрессии при вращении также не будет изменяться. Следует при этом отметить, что изменение момента масштаба входных переменных приводит к потере свойства рототабельности. Таким образом, необходимо поддерживать постоянство масштаба задания независимых переменных при проведении всего эксперимента.

Нормированная матрица Ф должна обладать некоторыми свойствами, чтобы быть инвариантной к ортогональному преобразованию (вращению).

Будем называть моментами плана элементы нормированной информационной матрицы:

а порядком момента величину:

Момент будет четным, если все степени p_j четные, и нечетные, если хотя бы одна степень p_j элемента нормированной информационной матрицы нечетна.

Для рототабельного плана второго порядка все нечетные моменты вплоть до четвертого порядка включительно должны быть равны нулю. К таковым относятся следующие моменты:

1. Первого порядка

2. Второго порядка

3. Третьего порядка

4. Четвертого порядка

Все четные моменты такого плана должны удовлетворять таким соотношениям:

1. Второго порядка

2. Четвертого порядка

Константа L₂ выбирается из условия выбора масштаба плана, а константа L₄ выбирается из условия невырожденности информационной матрицы.

Если все точки плана расположить на поверхности сферы с радиусом r и с центром в начале координат нормированного факторного пространства, то дли любой I-ой точки данного плана можно записать:

В соответствии с матрицей Фишера (подматрица с линейными членами):

Таким образом, точки рототабельного плана, в которых реализуются опыты, должны быть расположены на нескольких (как минимум двух) концентрических гиперсферах с общим центром.

Для построения рототабельного ЦКП второго порядка необходимо выбрать соответствующие значения «звездного» плеча a и количество центральных точек N₀.

Запишем общие выражения для всех четных моментов

1. Нулевого порядка

2. Второго порядка

3. Четвертого порядка

Таким образом, NL₂ = 2ⁿ+2a², NL₄ = 2ⁿ, 3NL₄ = 2ⁿ+2a⁴.

Отсюда находим условие рототабельности:

или a⁴ = 2ⁿ.

Следовательно, чтобы ЦКП второго порядка обладал свойствами рототабельности, значение «звездного» плеча должно составлять:

Как и в случае ортогональных ЦКП, a зависит от числа n входных величин. Для определения числа опытов в центре плана («нулевой» точке) необходимо исходить из условия невырожденности информационной матрицы Фишера для рототабельных планов:

Из последнего соотношения видно, что для построения рототабельного ЦКП с невырожденной информационной матрицей Фишера достаточно в центре плана проводить один опыт. Увеличение числа N₀ опытов в центре плана приводит к увеличению числителя и позволяет усилить неравенство до требуемой степени.

Часто исследователя интересует информация о функции отклика в некоторой окрестности центра плана, т.е. требуется, чтобы информация о выходной величине, полученная на основании уравнения регрессии, была практически одинаковой (постоянной) внутри гипершара радиуса r = 1 для r Î [0,1]. Такое планирование называется униформ-рототабельным. Для его получения достаточно обеспечить равенство дисперсии в центре плана (r = 0) и на поверхности гиперсферы радиуса r = 1. Этого добиваются подбором числа наблюдений N₀ в центре плана.

В случае, когда число факторов велико, то в качестве «ядра» рототабельного ЦКП выбирается матрица ДФЭ. Оптимальное значение «звездного» плеча при этом определяется так:

В таблице приведены значения a и N₀ для РЦКП, причем значения N₀ приведены для униформ-рототабельного плана.

n	2	3	4	5		6		7
Ядро ЦПК	ПФЭ 22	ПФЭ 23	ПФЭ 24	ПФЭ 25	ДФЭ 25-1	ПФЭ 26	ДФЭ 26-1	ПФЭ 27	ДФЭ 27-1
N0	5	6	7	10	6	15	9	21	14
N	13	20	31	52	32	91	53	163	92
a	1,414	1,682	2,000	2,378	2,000	2,828	2,378	3,364	2,828

Для нахождения методом наименьших квадратов оценки коэффициентов регрессии будем исходить из известного соотношения:

СВ = F^TY

откуда В

B = С^-1F^TY

Это равенство может быть переписано в виде

B =

Ф^-1F^TY

где Ф^-1 – матрица, обратная нормированной информационной матрице Ф любого рототабельного плана.

Ввиду того, что подматрицы с линейными факторами, а также с их линейными взаимодействиями диагональные, то они легко обращаются (аналогично ортогональным планам).

В таблице приведена матрица рототабельного n-мерного плана второго порядка, в которой используется обозначение:

Запишем формулы для определения оценок коэффициентов:

Точность вычисленных оценок определяется их дисперсиями. Для определения дисперсий оценок коэффициентов воспользуемся таблицей, в которой представлена матрица Ф^-1,рассмотрев ее диагональные и недиагональные элементы. Поскольку в матрице недиагональные элементы не нулевые, то оценки коэффициентов регрессии квадратичных членов и оценка свободного члена остаются взаимозависимыми.

Исходя из системы оценок коэффициентов с учетом кратности m проведения опытов, получим:

Вторые слагаемые в выражениях оценок

и обусловлены наличием корреляционной связи между ними. Найдем эту зависимость:

Поскольку остальные подматрицы нормированной матрицы Фишера Ф и обратной матрицы Ф^-1 диагональные или нулевые, то все остальные корреляционные моменты равны нулю. Из этого следует, что оценки коэффициентов

и при факторах и их линейных взаимодействиях независимы. Поэтому их можно проверять независимо от полученных оценок других групп коэффициентов на статистическую значимость на основании t-критерия Стьюдента, как и при ортогональном планировании. Если какой-либо из коэффициентов или окажется статистически незначимым, то его можно исключить из уравнения регрессии, не пересчитывая оценки других коэффициентов. Значимость оценки свободного члена или оценки квадратичных коэффициентов регрессии должна проверяться при фиксированных значениях всех остальных коэффициентов из этой группы с помощью F-критерия. Если какая-либо из оценок коэффициентов или окажется статистически незначимой, то для ее исключения из уравнения регрессии требуется пересчет остающихся оценок данной группы.