Методические указания (сборник задач) по курсу «системы принятия решений» (стр. 3 из 8)
(10)при всех ненулевых
, удовлетворяющих условию (9).Тогда
- строгое локальное решение задачи (6). Пример 2.
Рассмотрим классическую задачу на условный экстремум:
, 
.Решение:
1. Составим функцию Лагранжа:
= 
.2. Выпишем необходимые условия оптимальности и ограничение задачи:
Ясно, что условие регулярности для данной задачи выполнено, но иногда бывает удобно рассмотреть отдельно два случая
и 
.Если
то и 
, что противоречит необходимому условию оптимальности (не все множители Лагранжа равны нулю). Полагаем 
. Таким образом, имеем регулярную функцию Лагранжа: = 
.Необходимые условия перепишутся в виде:
Данная система имеет два решения:
1)
2)
3. Далее рассмотрим матрицу вторых частных производных функции Лагранжа:
.Для указанных решений матрица принимает соответственно вид:
, 
.Выпишем условие (9):
, 
.Исследуем полученные точки
и 
:3.1. Условие (9) для точки
выглядит следующим образом: 
. Отсюда 
. Нетрудно проверить, что матрица 
удовлетворяет условию (10). Достаточное условие оптимальности выполнено, следовательно, точка - строгое локальное решение исходной задачи.3.2. Из условия (9) для точки
получаем 
. Проверим условие (8) для таких 
. Получаем 
, при 
. Необходимое условие оптимальности второго порядка не выполняется. Точка не является решением задачи.19. Из данного треугольника вырезать два равных круга наибольшего радиуса.
20. Доказать, что из всех треугольников с общим углом при вершине и данной суммой длин боковых сторон равнобедренный треугольник имеет наименьшее основание.
21. Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним и тем же углом при вершине найти треугольник с наибольшим периметром.
22. Даны две параллельные прямые и точка
между ними, лежащая на расстоянии 
от одной прямой и на расстоянии 
от другой прямой. Точка 
служит вершиной прямых углов прямоугольных треугольников, две другие вершины которых лежат на каждой из параллельных прямых. Какой из треугольников имеет наименьшую площадь?23. В треугольной пирамиде проводятся сечения, параллельные двум её непересекающимся рёбрам. Найти сечение с наибольшей площадью.
24. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху заканчивается полукругом. Каково должно быть основание прямоугольника для того, чтобы при данном периметре
окно пропускало бы больше света?25. Дан квадратный лист картона. Какой величины должны быть вырезаны квадраты в каждом из четырёх углов этого листа, чтобы из оставшейся крестообразный фигуры можно было сделать коробку наибольшей вместимости?
26. В эллипс
вписать прямоугольник наибольшей площади.27. Из всех эллипсов, у которых сумма осей постоянна и равна
, найти наибольший по площади.В задачах 28-31 требуется определить локальные минимумы и максимумы функции
при выполнении ограничения 
.28.
, 
.29.
, 
.30.
, 
.В задачах 28-30
.31.
, 
, - симметрическая матрица размера 
, 
.32. Доказать, что для любых двух векторов
, 
таких, что 
, 
справедливо неравенство 
.Найти решения задач на условный экстремум:
33.
, 
, 
.34.
, 
, 
.35.
, 
.- Число разложить на
множителей так, чтобы сумма их была наименьшей.
Выпуклые множества и выпуклые функции
Непустое множество
называется выпуклым, если 
при всех 
, 
.