Методические указания (сборник задач) по курсу «системы принятия решений» (стр. 4 из 8)
Функция
, определенная на выпуклом множестве 
, называется выпуклой, если 
(11)при всех
, 
. Если при всех , 
, 
неравенство (11) выполняется как строгое, то называется строго выпуклой.Функция
, определенная на выпуклом множестве 
, называется сильно выпуклой с константой 
, если 
при всех
, 
.Ниже приведены необходимые и достаточные условия выпуклости и сильной выпуклости дифференцируемых функций. Для краткости формулировок выпуклые функции рассматриваются как сильно выпуклые с параметром
.Теорема 9 (Первый дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть функция
дифференцируема на выпуклом множестве . Тогда для того, чтобы была сильно выпуклой с параметром 
на 
, необходимо и достаточно выполнения условия: 
, при всех 
.Теорема 10 (Второй дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть функция
непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве . Тогда для того, чтобы была сильно выпуклой с параметром на , необходимо и достаточно выполнения условия: 
, при всех 
.Теорема 11 (Третий дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть
дважды непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве , причем внутренность множества не пуста ( 
). Тогда для того, чтобы 
была сильно выпуклой с параметром на , необходимо и достаточно выполнения условия: 
для всех 
.37. Показать, что множество
выпукло тогда и только тогда, когда 
при всех 
. Здесь 
- алгебраическая сумма множеств 
( 
).38. Являются ли выпуклыми множествами следующие множества на плоскости:
а) круг
с центром в начале координат;в) часть круга
, получающаяся из него путём вырезания сектора, лежащего в правом квадранте.39. Верно ли, что объединение и пересечение двух выпуклых множеств выпукло?
40. Пусть
- выпуклые множества, 
- произвольные числа. Доказать, что множество 
выпукло.41. Перечислить все выпуклые множества, принадлежащие числовой прямой
.42. Показать, что следующие множества являются выпуклыми:
а)
- прямая, проходящая через точку 
в направлении 
;в)
- луч, выходящий из точки 
в направлении ;с)
- гиперплоскость с нормалью 
( 
) 
;d)
,
- порождаемые гиперплоскостью с нормалью ( 
) полупространства. Здесь 
.43. Показать, что множество
, где 
- некоторая матрица размера ( 
) со строками 
, 
, является выпуклым.44. Показать, что множество
является выпуклым. Здесь 
, - заданные числа.Точка
выпуклого множества 
называется крайней, если её нельзя представить в виде 
45. Определить все крайние точки множества
, заданного в задаче 44.46. Определить все крайние точки множества
, где 
.47. Указать все крайние точки множества
, определённого в задаче 42.В задачах 48-53 множество
предполагается выпуклым.48. Доказать, что функция
- выпукла, если 
выпукла и 
.49. Доказать, что функция
- выпукла, если выпукла, 
.