Методические указания (сборник задач) по курсу «системы принятия решений» (стр. 7 из 8)

75. Если

- неотрицательный октант, то .

76. Если

- гиперплоскость ( ), то .

77. Если

- полупространство ( ), то .

78. Если

- аффинное множество, причём строки матрицы линейно независимы, то , где - транспонированная матрица, .

79. Решить задачу:

80. Доказать, что решением задачи выпуклого программирования

является точка

.

81. Показать, что других решений, кроме

, в задаче 80 нет.

82. Доказать, что решением задачи выпуклого программирования

является точка

.

83. Показать, что других решений, кроме

, в задаче 82 нет.

В задачах 84-88

.

84. Используя необходимые условия оптимальности (14), (15), разработать численный метод отыскания решения задачи

Решить задачи:

85.

- положительные числа, .

86.

- произвольные числа, .

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

1. Доказать, что если
   ,
   - положительные числа, причём
   , то
   .

Пусть

,

(17)

95. Показать, что если

дифференцируемы в точке и - локальное решение задачи (17), то существуют числа , такие, что

.

Предполагая, что в задаче (1)

, обозначим через точную нижнюю грань целевой функции задачи (1) на её допустимом множестве: . Вектор называется вектором Куна-Таккера задачи (1), если при всех .

Двойственной к задаче (1) называется задача

(18)

, .

При этом задача (1) называется прямой. Предполагая, что

, обозначим через .

96. Показать, что в задаче (18) множество

выпукло, а функция вогнута на .

97. Показать, что для любых

и справедливо неравенство . Если , , то .

Теорема 16 (Теорема существования вектора Куна-Таккера)

Пусть в задаче (1) множество

выпукло, функции выпуклы на , функции линейны. Предположим, что дополнительно выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) ограничения равенства отсутствуют (

) и существует точка такая, что ;

2)

, функции линейны, множество .

Тогда вектор Куна-Таккера задачи (1) существует.

Теорема 17 (Теорема двойственности)

Пусть вектор Куна-Таккера задачи (1) существует. Если значение прямой задачи (1) конечно (

) в частности, если она имеет решение, то множество решений двойственной задачи (18) непусто и совпадает с множеством векторов Куна-Таккера задачи (1). При этом справедливо соотношение двойственности