Методические указания по выполнению лабораторной работы №5 по курсу “Цифровая обработка сигналов” томск 2010 (стр. 2 из 3)

2.3. Порядок синтеза РЦФ по аналоговому прототипу

Возможны два метода проектирования ЦФ по аналоговому прототипу.

В первом методе расчет аналогового фильтра-прототипа (АФП) начинается с нахождения соответствующего аналогового фильтра-прототипа низких частот (АФПНЧ). В дальнейшем используется подходящее аналоговое частотное преобразование для перевода этого прототипа низких частот в требуемый АФП. Наконец, на основе процедуры отображения этот аналоговый фильтр преобразуется в желаемый цифровой БИХ-фильтр (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой), который удовлетворяет предъявленным требованиям. Полностью эта процедура расчета показана на рис. 3.а.

Процедуры перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики и метода Эйлера не обеспечивают хороших методов расчета цифровых фильтров, если полоса аналогового фильтра не ограничена низкими частотами. Метод билинейного преобразования (из-за нелинейного соотношения между цифровой частотой w и аналоговой частотой W) дает лучшие результаты только для тех частотных характеристик аналогового фильтра, которые представляют собой ступенчато-образную функцию. Это означает, что процедура отображения (рис. 3.а) не обеспечивает хороших методов расчета фильтров верхних частот, заграждающих и некоторых типов полосовых фильтров.

Для исключения этих недостатков используется другой подход к расчету цифровых БИХ-фильтров. Такой способ изображен на рис. 3.б. В этом случае процедура отображения всегда имеет дело с нормированным цифровым прототипом низких частот. Следовательно, рассмотренные в предыдущих подразделах три процедуры перехода смогут обеспечить хорошие результаты. В основном этот подход состоит в нахождении подходящего нормированного аналогового фильтра-прототипа низких частот. Аналоговый прототип отображается в цифровой фильтр-прототип низких частот (ЦФПНЧ). Наконец, используется цифровое частотное преобразование для перехода от цифрового прототипа низких частот к окончательному варианту, т.е. цифровому фильтру с подходящими характеристиками в полосе пропускания и полосе задерживания и удовлетворяющему предъявленным требованиям.

а) б)

Рис. 3. Процедуры расчета цифровых фильтров

2.4. Синтез аналогового ФНЧ-прототипа (АФПНЧ)

Синтез АФПНЧ включает выбор аппроксимирующей функции, определение порядка фильтра m, значений нулей s_0i и полюсов s_pi и передаточной функции по заданным граничным частотам Ω_с= 1, Ω_з и допускам на погрешности аппроксимации δ₁, δ₂ ( A_п, A_з ).

Нули и полюса синтезированного АФПНЧ полностью определяют его передаточную функцию H(s):

(5)

где С – нормирующий множитель; m₁ – число конечных нулей (m₁ < m).

Следует отметить, что полюса АФПНЧ являются вещественными или комплексно-сопряженными числами (со знаком минус перед реальной частью), а конечные нули чисто мнимыми.

Синтез АФПНЧ заключается в аппроксимации его заданной идеализированной ЧХ с помощью соответствующих аппроксимирующих функций.

В качестве аппроксимирующих функций используются полиномы и дроби. К полиномиальным относятся аппроксимации Тейлора (фильтры Баттерворта), Чебышева, к дробным – Кауэра–Золоторева (эллиптические фильтры), Чебышева инверсная.

Передаточные функции фильтров с полиномиальной аппроксимацией не имеют конечных нулей, их частотные характеристики монотонны в полосе задерживания.

У фильтров с дробной аппроксимацией передаточные функции имеют нули на конечных частотах в полосе задерживания, а частотные характеристики – пульсации (в том числе равноволновые) в этой полосе. Фильтры Чебышева и эллиптические имеют равноволновые пульсации и в полосе пропускания.

Типичные графики частотных характеристик нормализованного АФПНЧ с полиномиальной и дробной аппроксимациями приведены на рис. 4.

Для частотных характеристик с равноволновыми пульсациями на графиках указаны соответствующие им частоты нулей и полюсов Ω_pi, Ω_0i ПФ.

Фильтры с дробной аппроксимацией обеспечивают лучшие характеристики затухания при одинаковом порядке фильтра или меньшее значение порядка при заданном затухании частотной характеристики.

Рис. 4. Графики частотных характеристик нормализованного АФПНЧ, соответствующие различным аппроксимирующим функциям

Фильтр Баттерворта.

Аппроксимация АФПНЧ Баттерворта имеет вид

(6)

где

, С – константа нормирования.

На практике порядок фильтра Баттерворта определяется по заданному ослаблению А_З на некоторой частоте W_З.

(7)

Если фильтр имеет четный порядок n, то удобно представлять передаточную функцию фильтра в виде произведения биквадратных звеньев

Фильтр Чебышева 1.

Аппроксимация АФПНЧ Чебышева 1 при порядке фильтра n имеет вид

(8)

где

, e – пульсации в полосе пропускания.

На практике порядок фильтра Чебышева 1 определяется по заданному ослаблению А_З на некоторой частоте W_З и пульсации в полосе пропускания e.

(9)

Фильтр Чебышева 2 (инверсный).

Аппроксимация АФПНЧ Чебышева 2 (инверсная) имеет вид

(10)

где

– полюса,

– нули.

На практике порядок фильтра Чебышева 2 также определяется по заданному ослаблению А_З на некоторой частоте W_З и пульсации в полосе пропускания (выражение 9).

2.5. Переход от АФПНЧ к ЦФ заданного типа

Аналоговый фильтр-прототип низких частот (АФПНЧ) преобразуется к требуемому аналоговому фильтру-прототипу (АФП) с помощью следующих частотных преобразований:

АФПНЧ-АФНЧ:

(фильтр низких частот);

АФПНЧ-АФВЧ:

(фильтр высоких частот);

АФПНЧ-АПФ:

(полосовой фильтр);

АФПНЧ-АРФ:

(режекторный фильтр).

W_u – верхняя частота среза, W_l – нижняя частота среза.

Полученный АФП преобразуется в требуемый ЦФ с помощью билинейного преобразования (1, 3).

АФПНЧ может быть преобразован в ЦФПНЧ путем билинейного преобразования (1, 3). Далее выполняются частотные преобразования для получения требуемого ЦФ:

ЦФПНЧ-ЦФНЧ:

;