Методические указания по выполнению лабораторной работы №5 по курсу “Цифровая обработка сигналов” томск 2010 (стр. 1 из 3)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Томский политехнический университет
| ²УТВЕРЖДАЮ² Декан ЭФФ ____________ Евтушенко Г.С. «_____» ____________ 2010 г. |
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА
МЕТОДОМ БИЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ПАКЕТЕ ПРОГРАММ MATHCAD
Методические указания
по выполнению лабораторной работы №5
по курсу “Цифровая обработка сигналов”
ТОМСК 2010
Лабораторная работа №5
Проектирование цифрового фильтра
методом билинейного преобразования в пакете программ Mathcad
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1.1. изучение метода билинейного преобразования и различных видов аппроксимации фильтров-прототипов;
1.2. синтез передаточной функции цифрового фильтра (ЦФ) по аналоговому прототипу методом билинейного преобразования;
1.3. исследование переходной и амплитудно-частотной (АЧХ) характеристики фильтра.
2. КРАТКИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
2.1. Задачи и методы синтеза цифровых фильтров
Синтез ЦФ в общем случае включает синтез передаточной функции и структуры фильтра по заданной его частотной или импульсной характеристике, а также оценку требуемой разрядности чисел для коэффициентов фильтра и отсчетов входного, выходного и внутренних сигналов.
Синтез передаточной функции ЦФ H(z) по заданной частотной характеристике Hd(j×ω) заключается в ее аппроксимации и определении коэффициентов передаточной функции. Методы синтеза разделяются на аналитические, итерационные и численные.
По виду аппроксимируемой частотной характеристики Hd(j×ω) различают цифровые фильтры со ступенчато-образной амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) – фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие (ППФ), полосно-заграждающие (ПЗФ), многополосные (МПФ) (рис. 1) и ЦФ с произвольной частотной характеристикой. Могут быть синтезированы также ЦФ с частотной характеристикой цифрового дифференциатора и преобразователя Гильберта.
Так как частотные характеристики ЦФ периодичны по частоте с периодом ωд и их модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) обладают свойствами соответственно четной и нечетной симметрии относительно частот ω = 0 или ωд/2, то их достаточно задать в полосе частот (0– ωд/2) или полосе (0–π) нормированных частот λ= ω×Tд (рис. 1).
Исходными данными для синтеза ЦФ по заданной частотной характеристике (рис.1) являются:
· частоты среза, задерживания ωс, ωз, определяющие границы и значения полос пропускания, задерживания и переходных полос фильтра;
· допустимая неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания (или ослабление на границах полосы пропускания в случае монотонных АЧХ) АП, дБ;
· минимальное затухание АЧХ в полосе задерживания АЗ, дБ.
Параметрам АП, АЗ, определяющим допустимые погрешности аппроксимации заданной идеализированной АЧХ |Hd(j×ω)|, соответствуют на рис. 1 уровни допустимого отклонения расчетной АЧХ |H(j×ω)| от 1 в полосе пропускания (1–δ1) и от нуля в полосе задерживания δ2: АП=20×lg[1/(1–δ1)], дБ; АЗ=20×lg(1/δ2), дБ.
Выделенные на рис. 1 пунктиром области образуют поле допусков на погрешности аппроксимации, в которые должна уложиться расчетная аппроксимирующая АЧХ |H(j×ω)|, показанная на рис. 1, в.
Рис. 1. Примеры задания АЧХ ЦФ
2.2. Метод билинейного преобразования
Метод билинейного преобразования относится к аналитическим методам расчета.
По методу билинейного преобразования синтезируемому ЦФ ставится в соответствие некоторый аналоговый фильтр-прототип (АФП ) с передаточной функцией Н(s) и частотной характеристикой H(j×Ω), однозначно связанными с передаточной функцией H(z) и частотной характеристикой H(j×ω) ЦФ:
АФП ЦФ АФП ЦФ
Связь эта определяется прямой s=f(z) и обратной z=f-1(s) преобразующими функциями и соответствующими им при s=j×Ω и z=ej×ωTд преобразованиями частот
Ω=f(ω), ω=f-1(Ω) аналогового и цифрового фильтров.
С помощью этих преобразований определяются требования к АФП, по которым хорошо разработанными методами синтезируется его передаточная функция H(s), преобразуемая затем в искомую передаточную функцию ЦФ H(z).
Преобразующие функции должны удовлетворять следующим условиям:
· левая S-полуплоскость s=σ+j y, σ<0, в которой размещаются полюсы устойчивого АФП, должна однократно отображаться внутрь круга единичного радиуса |z|<1, в котором на Z-плоскости размещаются полюса устойчивого ЦФ, т.е. устойчивому АФП должен соответствовать устойчивый ЦФ;
· вся мнимая ось частот j×Ω АФП, Ω=(0 ± ∞), должна однократно, т.е. в один обход, отображаться на окружность единичного радиуса Z-плоскости
, ω=(0 ± ωд/2), обеспечивая близость частотных характеристик обоих фильтров.Этим условиям отвечает билинейное преобразование, которое определяется следующим образом:
| s=f(z)=(2/T)[(1–z-1)/(1+z-1)] | (1) |
Можно также найти обратное соотношение
| z-1=[(2–s×T)/(2+s×T)] | (2) |
Из свойств процедуры перехода на основе билинейного преобразования следует, что мнимая ось S-плоскости отображается в единичную окружность в Z-плоскости (где |z|=1)
Рис. 2. Свойства процедуры перехода на основе билинейного преобразования
Билинейное преобразование – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в Z-плоскости соответствует точно одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства однозначности следует, что отсутствует эффект наложения спектров при билинейной процедуре отображения.
Методика расчета цифровых фильтров на основе метода билинейного преобразования включает в себя нахождение подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применение к ней билинейного преобразования для получения передаточной фикции H(z) требуемого цифрового фильтра
 | (3) |
При этом преобразовании будут сохраняться и частотные характеристики, и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра идентичны, одинакова только их «форма». Например, если амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра монотонно спадает при 0 <W< ¥, то соответствующий цифровой фильтр, полученный с помощью соотношения (3), будет обладать монотонно спадающей АЧХ при 0 <w< ¥,. То есть, если АЧХ аналогового фильтра имеет k подъемов и спадов при 0 <W< ¥, то и амплитудно-частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет обладать k подъемами и спадами.
В результате перехода к нормированным частотам ЦФ частотные преобразования принимают вид
 | (4) |
Характер деформации частот при билинейном преобразовании показан на рис. 3.
Рис. 3. Преобразование АЧХ аналогового ФНЧ в АЧХ цифрового ФНЧ
Для обеспечения равенства
необходимо деформировать частоту аналогового ФНЧ – прототипа: 
.Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности импульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования является то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой w и аналоговой частотой Ω приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.