Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» (стр. 2 из 18)

Свойства остальных элементов эквивалентной cxeмы ТРУ (рис. 2) для динамического режима описываются соотношениями:

U_R1=i_R1•R₁, U_R2=i_R2•R₂, U_Rб=i_Rб•R_б, U_R3=i_R3•R₃, U_R4=i_R4•R₄, U_R5=i_R5•R₅,

U_R6=i_R6•R₆, U_R7=i_R7•R₇

В общем виде можно записать для элементов схемы :

Резисторы: U_Ri=i_Ri•R_i , i - номер резистора (3)

Емкости: i_Cj=C_j• dUcj/dt , j - номер емкости

Источники постоянного тока: J₌=const

Входное ток: J_~=¦(t)=J_м•sin(w•t+y_J)- функция времени.

Элементы схемы (или ветви), соединяясь в узлах, образуют в схеме контура. Токи в узлах (сечениях) схемы и напряжения в контурах подчиняются, соответсвенно, первому и второму законам Кирхгофа;

1. Алгебраическая cyммa токов i в любом узле (в замкнутом сечении) электрической схемы равна нулю (вытекающий ток из узла берется со знаком "+", втекающий ток в узел берется со знаком "-" )

n

S i=0 (4)

к=1

2. Алгебраическая сумма напряжений u ветвей в любом контуре электрической схемы равна нулю

n

S u=0

к=1

Уравнения соединений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т.е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т.е. физического содержания ветвей. Поэтому при составлении уравнений соединений удобно отвлекаться от вида и характеристик ветвей цепи и заменять их линиями, соединяющими узлы, с сохранением числа ветвей и узлов. В результате получают так называемый линейный граф (топологический граф), который представляет совокупность или систему узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ребер) изображаемых отрезками линий, соединяющих любую пару узлов. Таким образом, элементами графа являются узел и ветвь (рис. 3).

Рис.3

Объединенные множества уравнений ветвей (компонентных уравнении (2), (3) и топологических уравнений (4) составляют математическую модель схемы (ММС) для динамического режима при большом сигнале. Если схема имеет l ветвей, то число уравнений к число переменных ММС равно l•2 при выборе независимых сечений и контуров. Для нашей схема при указанных стрелками направлениях токов уравнение (4) имеет вид :

Узел 1 i_R1 + i_С1 - J_~ =0

Узел 2 -i_С1 +i_R3 +i_R2 +i_Rб =0

Узел 3 -i_Rб +i_Ск +i_Сэ - i_К - i_Э - i_ДК - i_ДЭ =0 (5)

Узел 4 -i_R5 - i_С2 - i_Сэ + i_Э + i_ДЭ =0

Узел 5 i_R4 + i_С3 - i_Ск + i_К + i_ДК =0

Узел 6 -i_R4 - i_R2 - i_R7 + J₌ =0

Узел 7 -i_C3 + i_C4 - i_R6 =0

Кроме токов и напряжений ветвей, введем в рассмотрение новые переменные - потенциалы узлов j_i относительно базисного узла (j₀=0). В качестве базисного узла удобно взять узел, общий для входа и выхода схемы. Тогда согласно второму закону Кирхгофа, напряжения всех ветвей u и узловые потенциалы j_i связываются соотношениями : u_R1=j₁-j₀, u_C1=j₁-j₂, u_R2=j₂-j₆, u_R3=j₂-j₀, u_С3=j₅-j₇ u_Rб=j₂-j₃, u_R4=j₅-j₆, u_R6=j₇-j₀, u_R5=j₀-j₄, u_C4=j₇-j₀ u_С2=j₀-j₄, u_Cк=j₃-j₅, u_Cэ=j₃-j₄, u_Iк=j₅-j₃, u_Iэ=j₄-j₃u_Jдк=j₅-j₃, u_Jдэ=j₄-j₃(6)

Множества уравнений (5) и (6) можно записать в матричной форме в общем виде | A | • | i |=0 (7)

| u |=| A^t | • | j | (8)

где | i |=|i_R1 , i_С1, i_R2 ……, J_~, J₌|^t- вектор токов всех ветвей схемы;

| u |=|u_R1 , u_С1, u_R2 ……, u_Jдк , u_Jдэ |^t -вектор напряжений всех ветвей;

| j |=|j₁,j₂,j₃,j₄,….j_q |^t - вектор узловых потенциалов;

q - число узлов, t- знак транспонирования.

Матрица |A|, называемая матрицей инциденций узел-ветвь, для схемы представлена на рис.3 и характеризует ее структурные свойства. Матрице |A| и соотношениям (7)-(8) соответствует топологический (направленный) граф схемы, построенный на множестве переменных схемы i, u и j. Граф является геометрическим образом структуры схемы. На графе выделены узлы j₁,j₂,j₃,j₄,j₅,j₆,j₇. Выбор направления токов в ветвях графа определяет систему независимых токов в напряжений в МУС. Выразим уравнения (5) используя уравнения (2),(3) и (6). В результате получим систему уравнений (9) :

Узел 1 (j₁-j₀)/R1 +С1•d(j₁-j₀)/dt - J_~ =0

Узел 2 -С1•d(j₁-j₀)/dt +(j₂-j₀)/R3 +(j₂-j₆)/R2 +(j₂-j₃)/Rб =0

Узел 3 -(j₂-j₃)/Rб +Ск¦(j₃-j₅)•d(j₃-j₅)/dt +Сэ¦(j₃-j₄)•d(j₃-

- j₄)/dt- ¦_К(j₅-j₃)-¦_Э(j₄-j₃) -a_N•¦_Iэ(j₄-j₃) -a_I•¦_IК(j₅-j₃)=0

Узел 4 -(j₀-j₄)/R5-С2•d(j₀-j₄)/dt-Сэ¦(j₃-j₄)•d(j₃-j₄)/dt+

+¦_Э(j₄-j₃)+ +a_I•¦_IК(j₅-j₃)=0 (9)

Узел 5 (j₅-j₆)/R4 +С3•d(j₅-j₇)/dt +Ск¦(j₃-j₅)•d(j₃-

-j₅)/dt+¦_К(j₅-j₃)+a_N•¦_Iэ(j₄-j₃)=0

Узел 6 -(j₅-j₆)/R4 -(j₂-j₆)/R2-(j₆-j₀)/R7+ J₌ =0

Узел 7 -С3•d(j₅-j₇)/dt +С4•d(j₇-j₀)/dt -(j₇-j₀)/R6 =0

Эти уравнения, называемые узловыми, составлены методом, подобным методу узловых потенциалов для линейных цепей. Система (9) - это система алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений относительно переменных j₁,j₂,j₃,j₄,j₅,j₆,j₇,J₌,J_~ Она состоит из трех групп уравнений: линейных алгебраических (7), линейных дифференциальных (1,2,6), нелинейных дифференциальных (остальные уравнения). Соответственно, переменные делятся на линейные Xл=J₌ и J_~, линейные дифференциальные Xлд=|j₁,j₂,j₆,j₇|^t нелинейные дифференциальные Xнд=|j₃,j₄,j₅|^t.

С учётом сказанного система (9) может быть записана в сокращенном виде:

¦л=( Xл, Xлд, Xнд)=0; ¦лд=( Xл, X'лд, Xнд)=0

¦нд=( Xл, Xлд, X'лд, Xнд, X'нд)=0 (10)

где -¦л - линейный оператор; ¦н - нелинейный оператор.

X'нд, X'лд - производные переменных по времени

Множество ветвей схеме (2)-(3) соответственно свойствам их уравнений, можно разделить на характерные подмножества ветвей: (11)

- источников тока J₌, J_~;

- линейных резисторов R и проводимоcтей G; U_R=i_R•R , или i_R=U_R•G ,где G=1/R

- нелинейных резисторов Iн=¦(U_R);

- зависимых источников тока Iд=a•Iн ;

- линейных емкостей i_СЛ= Сл•d(Ucл)/dt ;

- нелинейных емкостей i_СН= Сн¦( Ucн)•d(Ucн)/dt .

Этому разбиению соответствует разбиение топологической матрицы |A| на субматрицы и запись топологических уравнений (7)-(8) в форме

		Ветви
Узлы		J=			J~	R1		R2	R3		RБ	R4		R5	R6		R7	Iк		Iэ		Iдк	Iдэ		С1	С2		С3	С4		Ск	Сэ
1		0			-1	1		0	0		0	0		0	0		0	0		0		0	0		1	0		0	0		0	0
2		0			0	0		1	1		1	0		0	0		0	0		0		0	0		-1	0		0	0		0	0
3		0			0	0		0	0		-1	0		0	0		0	-1		-1		-1	-1		0	0		0	0		1	1
4		0			0	0		0	0		0	0		-1	0		0	0		1		0	1		0	-1		0	0		0	-1
5		0			0	0		0	0		0	1		0	0		0	1		0		1	0		0	0		1	0		-1	0
6		1			0	0		-1	0		0	-1		0	0		-1	0		0		0	0		0	0		0	0		0	0
7		0			0	0		0	0		0	0		0	1		0	0		0		0	0		0	0		-1	1		0	0
		АЕ				АR												AH				AД			АСЛ						АСН
JЕ
АЕ			АR			AH			AД			АСЛ			АСН			•		JR
IН			= 0			(12)
IД
iСЛ

uЕ	АtЕ	j1
uR	АtR	j2
uН	=	AtH	•	j3	(13)
uД	AtД	•
uСЛ	АtСЛ	•
uСН	АtСН	jq

Подставим уравнение (13) в соотношения (11) и результат в (12). После преобразований получал матричное уравнение: (14)