Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» (стр. 6 из 18)

DU⁰_Д = W^-1(U⁰_Д) • ¦(U⁰_Д)

В промежутке между итерациями функция ¦(U⁰_Д) заменяется прямой линией, касательной в исходной точке. Поэтому метод Ньютона называют еще методом касательной или методом линеаризации. Если начальное приближение выбрать слева от корня, то нетрудно видеть, что из-за большой величины обратной производной W^-1(U⁰_Д) уже первое приращение DU⁰_Д велико и может привести к большому значению функции ¦(U¹_Д) и даже переполнению разрядной сетки ЭВМ (рис.8). На рис. 9. показаны для произвольной функции ¦(Х) случаи зацикливания итераций и расходимости метода Ньютона. Однако из геометрических интерпретаций видно, что если начальное приближение выбрано близко к точному решению, то метод сходится всегда.

Рис. 8

Рис. 9

Для устранения неоправданного роста ¦(U¹_Д) переполнения разрядной сетки ЭВМ в случае экспоненциальных нелинейностей существует несколько способов [l,2]:

а) введение ограничений на изменение напряжения и тока диодов:

Iд £ Iд _макс , Uд £ Uд _макс

6) линеаризация диодных характеристик после Uд _макс, т.е. применение соотношений:

ì Iо•(e^Uд/jт -1) при Uд £ Uд _макс = Uдм

Iд= í

î Iо•(e^Uдм/jт -1)•(1+(Uд-Uдм)/ j_Т) при Uд > Uдм

в) использование вспомогательных соотношений - определение поправки, например, при DU >0 по формуле:

DU^к_Д = j_Т •Ln(1+DU^к_Д / j_Т)

где DU^к_Д - поправка, вычисленная по обычной итерационной схеме Ньютона. Эти идеи переносимы и на другие классы нелинейных функций.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИМЕНЯЕМЫХ ДЛЯ АНАЛИЗА СХЕМ.

При расчете статического режима методом Ньютона (cм. (33)) возникает необходимость решения, системы линейных алгебраических уравнений на каждой итерации. Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1) точные (прямые) методы

2) итерационные.

Точные методы дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точно (без ошибок округления), то решение заданной системы также получается точным.

Итерационные методы служат, как правило, для итерационного улучшения решений, получаемых прямыми методами. Итерационные методы являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным процессом (например), рассмотренный метод Ньютона, метод простой итерации, метод Некрасова, метод Зейделя и др. [4,5].

Наиболее простой среди точных методов - метод Гаусса [4,5]. Он основан на идее исключения неизвестных, в результате которого заданная система уравнений

W•DХ=¦ или А•Х=В

т.е.

а₁₁•х₁+а₁₂•х₂+а₁₃•х₃+……а_1n•х_n=b₁

а₂₁•х₁+а₂₂•х₂+а₂₃•х₃+……а_2n•х_n=b₂ (37)

………………………………………

а_n1•х₁+ а_n2•х₂+ а_n3•х₃+……а_nn•х_n=b_n

преобразуется в эквивалентную ей систему о верхней треугольной матрицей, решение которой уже не представляет труда. Метод Гаусса может быть реализован следующим образом. Предположим, что а₁₁¹0 и разделим первое уравнение системы (37) на коэффициент а₁₁, называемый ведущим для первого шага,. Затем умножим последовательно полученное уравнение на а_i1 и (i=2,3,..., n) и вычтем его из соответствующих уравнений (i=2,3,..., n) системы (37). В результате неизвестное x₁ будет исключено из всех уравнений заданной системы, кроме первого, и мы получим систему, эквивалентную (37) вида

х₁+а₁₂⁽¹⁾•х₂+а₁₃⁽¹⁾•х₃+……а_1n⁽¹⁾•х_n=b₁⁽¹⁾

0+а₂₂⁽¹⁾•х₂+а₂₃⁽¹⁾•х₃+……а_2n⁽¹⁾•х_n=b₂⁽¹⁾ (38)

………………………………………………

0+а_n2⁽¹⁾•х₂+а_n3⁽¹⁾•х₃+……а_nn⁽¹⁾•х_n=b_n⁽¹⁾

С этой системой поступаем аналогично, но без учета первого уравнения. Таким образом, на втором шаге фактически преобразуемой является система ( n-1 )-го порядка с матрицей

| а₂₂⁽¹⁾ а₂₃⁽¹⁾ …… а_2n⁽¹⁾ |

| а₃₂⁽¹⁾ а₃₃⁽¹⁾ …… а_3n⁽¹⁾ |

| ……………………….. |

| а_n2⁽¹⁾ а_n3⁽¹⁾ …… а_nn⁽¹⁾ |

и правой частью | b₂⁽¹⁾ b₃⁽¹⁾ …… b_n⁽¹⁾ |^t

После второго шага получаем систему, в которой х₂ будет исключено из всех уравнений, кроме первого и второго. Продолжая описанный процесс, после n -го шага придем к системе, эквивалентной (37), но с треугольной матрицей

х₁+а₁₂⁽¹⁾•х₂+а₁₃⁽¹⁾•х₃+……а_1n⁽¹⁾•х_n=b₁⁽¹⁾

0 + х₂ +………………а_2n⁽²⁾•х_n=b₂⁽²⁾ (39)

………………………………………

…………………………………х_n=b_n⁽ⁿ⁾

Преобразование системы (37) в систему (39) называется прямым ходом, а решение треугольной системы (39) - обратным ходом. Вычислительные формулы этого варианта метода Гаусса, называемого алгоритмом единственного деления, имеют следующий вид:

Прямой ход. s -й шаг (s = 1, 2,……n)

а_iк^(s)= а_iк^(s-1)/а_ss^(s-1), b_i^(s)= b_i^(s-1)/а_ss^(s-1), i=s, к=s,s+1,……,n (40)

а_iк^(s)=а_iк^(s-1)-[а_sк^(s-1)/а_ss^(s-1)]•а_is^(s-1),

b_i^(s)=b_i^(s-1)-[а_is^(s-1)/а_ss^(s-1)]•b_i^(s-1), i=s+1, s+1, ………., n к=s, s+1, ……, n

Обратный ход осуществляется по формул

n

x_i=b_i⁽ⁱ⁾-Sа_iк⁽ⁱ⁾•x_к, i=n, n-1, ………,1 (41)

к=i+1

Схема единственного деления проста и экономна по числу арифметических операций (требует умножений- (n³+3•n²+n)/3 , сложений- (2•n³+3•n²+5•n)/6, делений- n ), однако для ее применения необходимо, чтобы вcе ведущие элементы а_ss^(s-1) (s=1,2,….,n) были отличны от нуля. Близость ведущих элементов к нулю может привести к большой потере точности вычисленного решения. В связи с этим вводятся различные варианты метода Гаусса, например, алгоритм с выбором главных элементов по всей матрице. Порядок исключения неизвестных в заданной системе происходит следующим образом. На каждом шаге s (s=1,2,….,n-1) из коэффициентов преобразуемой матрицы выбирается наибольший по модулю, называемый главным элементом s -го шага. Стоящее при нем неизвестное исключается по описанному выше правилу. Дня удобства вычислений перед исключением этого неизвестного делают перестановку уравнений и неизвестных так, чтобы главный элемент занял левый верхний угол преобразуемой матрицы. Если s-м шаге наибольший элемент выбирается среди коэффициентов s-го столбца (строки), то такой алгоритм называется алгоритмом с выбором главного элемента по столбцу (отроке). Следует отметать, что процедура обращения матриц путем применения исключений Гaycca требует примерно n³умножений по сравнению n³/3 при решении системы линейных уравнений. Поэтому не предлагается решать уравнение W•DХ=¦ путем обращения W.

При решении систем линейных уравнений, в том числе при анализе линейных схем, широкое распространение кроме метода Гаусса получили также LU - разложение, метод Краута, методы отражений и вращений [5, Д2]. В случае расчета больших электронных схем матрица W имеет значительное количество нулевых элементов (до 80-90 %) т.е. сильно разряжена. Учет этого обстоятельства в специальных модификациях вышеуказанных методов [5, Д2] позволяет резко увеличить эффективность решения (уменьшить затраты памяти и увеличить скорость решения).

При расчете статического режима ТРУ (см. (9) при условиях статики и (33)) методом Ньютона потребуется решать систему линейных алгебраических уравнений вида

-1/R1							•	Djк1	=	¦1(jк1)
	1/RБ+ +1/R2	1/R3 - -1/RБ						Djк2		¦2(jк2,jк3)
	1/RБ	W33	aN•¦'э- -¦'э	-aI•¦'к- -¦'к				Djк3		¦3(jк2,jк3, jк4,jк5)
		aN•¦'э++¦'э	W44					Djк4		¦4(jк3,jк4)
		¦'к+ +aN•¦'э	-aN•¦'э	-¦'к+ +1/R4				Djк5		¦5(jк3,jк4, jк5)
					1/R6			Djк6		¦6(jк6)
	1/R2			1/R7		-1		DiкЕ		¦7(jк2,jк5, iкЕ)

где ¦'к=d¦_кj^к_i/dj^к_i , ¦'э=d¦_эj^к_i/dj^к_i