i - индекс соответствующего потенциала,
W33= -1/RБ+¦'э+aN•¦'э+¦'к+aI•¦'к
W44= 1/R5+¦'э - aN•¦'э
Если в вычислении iЕ нет необходимости, то можно решать систему 6-го порядка, удалив последний строку и седьмой столбец в матрице W. Потенциалы на каждой итерации определяются из
jк+!i =jкi - Djкi, к=0,1,2,……..
Если [Djik ] < e и [¦(ji k)] < e, то jik+1 = j*i т.е. искомому решению.
Для моделей ММС-Ст1 и ММС-Ст2 может быть построена итерационная схема (33) подобно тому, как это было сделано для модели ТРУ. Например, матрица Якоби от (27) имеет вид
W(iЕ ,j)=|АЕ|+|АR|•|G|•|АtR|+|АH|•¦'(|АtH|•|j|)•|АtH|+
+|АД|•a•¦'Н(|АtД|•|j|)•|АtД| (42)
Чтобы рассчитать методом Ньютона статический режим заданной схемы из класса электронных схем представленного множеством ветвей (2)-(3), необходимо по заданной топологической информации (матрацам |А| или |П| ) сформировать не только модели (27….29) или (31), но и матрицу Якоби. В ЭВМ это осуществляется автоматически с помощью специальных алгоритмов формирования модели и Якобиана. Если при решении линейной системы применяется метод разреженных матриц, то якобиан представляется не в форме матрицы [n x n] , а в виде связанных векторов (множеств) [5].
Кроме метода Ньютона, при расчете статического режима, т.е. при решении ММС-Ст1 и ММС-Ст2, можно применить другие методы:
-метод Ньютона-Канторовича, требующий вычисления Якобиана только один раз;
-метод наискорейшего спуска, который менее критичный, чем метод Ньютона, к выбору начального приближения, но с меньшей скоростью сходимости;
-метод Матвеева - комбинацию из названных;
-методы высокой скорости сходимости [2,4,5].
На основе ММС-Ст рассчитывается ряд качественных показателей, например, потребляемая мощность на постоянном токе - Ро, как сумма мощностей, потребляемых в каждой ветви, передаточная характеристика Uвых=¦(Uвх) при линейном законе изменения Uвх в др. По окончании расчета статического режима находятся также параметры малосигнальных моделей приборов. Например, для транзистора определяется
gK= I'К•(U*КБ) » DIК/DU*КБ |
| UКБ=U*КБ
rK=1/gK, CK=CK(UКБ)
gЭ= I'Э•(U*БЭ) » DIЭ/DU*БЭ |
| UБЭ=U*БЭ
rЭ=1/gЭ, CЭ=CЭ(UБЭ)
U*КБ, U*БЭ - значения напряжений в статическом режиме.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ МАЛОМ СИГНАЛЕ.
ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ.
При малом входном сигнале нелинейные функции, описывающие свойства приборов, в окрестности статического режима можно считать линейными и представлять параметрами, рассчитанными (или измеренными) в статическом режиме. Тогда на эквивалентной схеме транзистора (рис.2) диоды будут заменены резисторами rK и rЭ , нелинейные емкости - постоянными значениями. Математическая модель ТРУ (9) приобретает вид линейных алгебро-дифференциальных уравнений, а ее обобщенный матричный аналог (14) -ММС-ДР1
|АЕ|•|iЕ|+|АR|•|G|•|АtR|•|j|+|АH|•gН•|АtH|•|j|+|АД|•a• gД•|АtД|•|j|+
+|АСЛ|•|СЛ|•d(|АtCЛ|•|j|)/dt+|АСН|•|СН•d(|АtCН|,|j|)/dt = 0 (43)
gН=|1/rк1/rэ|, СН=|СкСэ|
или после перестановок:
| d(Асл, j)/dt) | |||
| |Асл Cл|Асн Cн |АЕ|• | d(Асн, j)/dt) | = | [AR•GR•AtR+AH•gH•AtH+ AД•a•gД•AtД] •j+ + AR1•G1•UВХ (44) |
| iЕ |
и, наконец, в сокращенном виде без уравнения для iЕ
Aj•d(AtC, j)/dt=AGj•j+ AU•u(t) (45)
Соответственно ММС ДР2 (см.(23)) для малого сигнала после алгебраических преобразований с учетом разбиения матриц ptRХ и ptIХ, ( на субматрицы ) запишется как
С•duc/dt=|C|-1•[(pCRX•GХ•ptCRX+pCIH•gH•ptCIX+pCIД•a•gH•ptCIX)•uc+ +(pCRX•GХ•ptRBRX+pCIH•gH•ptRBIX+pCIД•a•gH•ptRBIX)•uRB+
+(pCRX•GХ•ptERX+pCIH•gH•ptEIX+pCIД•a•gH•ptEIX)•EB] (46)
или более сокращенно
dX/dt=A1•X +A2•X+B1•u(t), X=uC, Xл=uRB, u(t)=EB (47)
где A1, A2, B1- матрицы в квадратных скобках, умноженные на |C|-1.
Используя подобные преобразования из (23) и (24), имеем
XЛ=Д1•X +Д2•u(t) (48)
Подставляя (48) в (47) окончательно получим
dX/dt=(A1+A2•Д2)•X+(B1+A2•Д2)•u(t),
или
dX/dt=A•X+B•u(t)=¦( X, t ) (49)
Это уравнение разрешено явно относительно производных dX/dt, а уравнение (45) представлено в неявной форме относительно производных, порядок и вид систем уравнений также различен. Алгоритм формирования уравнений (45) проще, ибо не требует выбора дерева на графе и такого количества операций с матрицами, как при получении (48).
Задача расчета динамического режима математически формулируется как задача Коши, заключающаяся в том, что ищется решение X(t) (или j(t)) уравнения (49) (или (45)), удовлетворяющее заданному начальному условию
X(tО)=XО=X*(j(tО)=j*)