Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» (стр. 9 из 18)

Fд (X, X, t)=0, X(t_o)=X^* (62)

и

X= ¦д (x, t), (63)

где Fд, ¦д - нелинейные операторы,

X^* - результат расчета статического режима,

|X|=|X_Д,X_Н,X_Л|^t, т.е. в виде нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений и в нормальной форме обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений может быть найдено при использовании явных и неявных методов численного интегрирования. Применяя явный метод Эйлера к (63) найдем решение в узлах t₀, t₁, t₂,….., t_n, интервала [t₀,….. t_К] по соотношению

X_n+1= X_n+ h•¦д(X_n, t_n ) n=0,1,……N (64)

Из уравнения (56) для производной Х получим

X_n+1=¦(X_n+1, t_n+1 )=(X_n+1 - X_n)/h (65)

Введение из (65) в (62) и (63) позволяет последние свести к конечным нелинейным алгебраическим уравнениям в узлах разностной сетки

Fд (X_n+1, (X_n+1 - X_n)/h, t_n+1)=0 (66)

(X_n+1 - X_n)/h=¦д(X_n+1, t_n+1 ) (67)

Для решения (66) и (67) применим метод Ньютона. В результате получим алгоритмы расчета динамического режима в виде

|¶Fд(X^к_n+1)/¶X^к_n+1|•DX^к_n+1= - Fд(X^к_n+1, (X_n+1 - X_n)/h, t_n+1) (68)

X^к+1_n+1=X^к_n+1 + DX^к_n+1, к=0,1,2,….,

и

|¶¦д(X^к_n+1)/¶X^к_n+1-1/h|•DX^к_n+1=¦д(X^к_n+1, t_n+1) - X^к_n+1/h + X_n, (69)

X^к+1_n+1=X^к_n+1 + DX^к_n+1

Таким образом, расчет динамического режима сводится к решению к-раз на каждом шаге численного интегрирования систем линейных алгебраических уравнений, например, рассмотренным ранее методом Гаусса. Условия сходимости метода Ньютона требуют достаточно хорошего начального приближения, точность которого определяет и число итераций в (68) и (69). Для его получения рекомендуют [2,5] - один из явных методов (например, метод Эйлера). При этом руководствуются тем, что характеристики устойчивости явного метода не имеют существенного значения при его однократном применении. Следует отметить, что из условий сходимости метода Ньютона вытекают дополнительные ограничения на пределы изменения шага численного интегрирования h. При построении численных алгоритмов приходится также учитывать особенности интегрирующих систем уравнений (например, жесткость), которые могут привести к плохой обусловленности матрицы Якоби и трудностям при решении систем линейных уравнений. При сильно разреженной матрице Якоби применяют методы решения систем с разреженными матрицами [4,5].

Компоненты вектора Fд и матрицы Якоби ¶Fд/¶X для ММС ТРУ вида (9) при подстановке (69) будут

Fд ₁=(С₁/h-1/R₁)•j_1(n+1)-(С₂/h)•j_2(n+1)-u_вх(t_n+1)/R1+(С₁/h)•j_1n+(С₂/h)•j_2n

Fд ₂=(С₁/h)•j_1(n+1)-(С₁/h+1/R_Б+1/R₂)•j_2(n+1)+(1/R₃-1/R_Б+1/R₂)•j_3(n+1)-

-E₂/R₂+(С₁/h)•j_1n+(С₂/h)•j_2n

Fд ₃=………………………………………………………………………… (70)

Fд ₄= -[ С_Э(-j_3(n+1)+j_4(n+1)) / h ]•j_3(n+1)+[ С_Э(-j_3(n+1)+j_4(n+1)) / h ]•j_4(n+1)-

-a_I¦к(-j_3(n+1)+j_4(n+1)) +¦э(-j_3(n+1)+j_4(n+1)+j_5(n+1)/R₅ --

-С_Э(-j_3(n+1)+j_4(n+1)) / h ]•j_3(n+1)+С_Э(-j_3(n+1)+j_4(n+1)) / h ]•j_4(n+1)

Fд ₅=………………………………………………………………………………..

Fд ₇=j_2(n+1)/R₂ -- j_5(n+1)/R₄ - i_E(n+1)-- (1/R₂ +1/R₄)•E (71)

		1	2	3	4	5	6	7
	1	С1/h-1/R1	-С1/h	……………………………..	..	……	.	….
	2	С1/h	-С1/h+1/RБ+1/R2	…………………………….	…	……	.	….
¶Fд(Xкn+1)/¶Xкn+1=	3	………..	…………….…	…………………………….	…	……	.	….
	4	………	………………	(С'Э/h)•j3(n+1)+(С'Э/h)+aI¦'к--¦'э	..	…	.	….
	5	………..	……………….	……………………………………	…	….	.	….
	6	……….		………………………………….		..	.	….
	7	………….	1/R2	…………………………………		-1/R4		-1

Здесь ¦'к, ¦'э, С'э - производные от нелинейных функций по соответствующим переменным.

Обобщенные модели (14) и (25) таким же путем, как было сделано для (9), можно представить в виде (68) и, соответственно, (69).

На основе системы (14) вектор Fд и матрица Якоби ¶Fд/¶j запишутся в форме:

Fд= A_СН•[C_Н(A^t_СН,j_n+1)/h]•A^t_СН• j_n+1 +

+ A_СЛ•(C_Л/h)•A^t_СЛ•j_n+1 +

+ A_Н•¦н(A^t_Н, j_n+1) +

+ A_Н•a•¦н(A^t_Д,j_n+1)+

+ A_R•G_R•A^t_R•j_n+1 + (72)

+A_E•i_К +

+A_СН•[C_Н(A^*_СН, j_n)/h]•A^t_СН•j_n +

+ A_СЛ•(C_Л/h)•A^t_СЛ•j_n

¶Fд/¶j_n+1 = A_СН•[C '_Н(A^t_СН, j_n+1)•A^t_СН /h]•A^t_СН• j_n+1 +

+ A_СН•[C_Н(A^t_СН, j_n+1) /h]•A^t_СН +

+ A_СЛ•(C_Л/h)•A^t_СЛ +

+ A_Н•¦ 'н(A^t_Н, j_n+1)•A_Н^t + (73)

+ A_Н•a•¦ 'н(A^t_Д, j_n+1)•A^t_Д+

+ A_R•G_R•A^t_R+

+ A_E

При реализации на ЭВМ задачи расчета динамического режима для электронной схемы произвольной структуры вектор Fд в Якобиан ¶Fд/¶j_n+1 формируются по заданной топологии схемы автоматически с помощью специальных алгоритмов формирования.

Алгоритм анализа динамического режима, использующий ММC вида (63) или (25) и явные методы численного интегрирования не требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений и казалось бы более эффективен по затратам времени и памяти на ЭВМ, чем (68) или (69). Но, на самом деле из-за ограничений на шаг, из условий устойчивости явных методов, этот алгоритм, особенно ври интегрировании жестких систем дифференциальных уравнений (c большим разбросом постоянных времени), а таковыми почти всегда являются уравнения электронных схем, оказывается менее аффективным.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ МАЛОМ СИГНАЛЕ.

ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ.

Математические модели для частотной области получаются на основе моделей (43), (45), (49) для временной области при использовании преобразования Лапласа (оператор d/dt заменяется p или jw , а. переменные j(t)®j(p) и X(t)®X(p), u(t)®u(p) и учете того, что сопротивление источника питания на переменном токе равно нули, т.е. Е=0.