Методические указания а. Д. Рожковский (стр. 17 из 20)
Вид рабочего окна сценария Ферхюльста приведен на Рис. 8.2. Увеличивая отдельные части графического изображения сценария Ферхюльста, и опираясь на данные, полученные в первой части работы, можно изучить такие понятия как - детерминированный хаос, фрактальные структуры, точки бифуркации.
Рисунок 1.2.
Для открытия рабочего окна нажмите на его изображение.
Лабораторная работа № 11. Теория.
Динамика Ферхюльста.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: На примере динамики Ферхюльста дать представление студентам о динамике сложных систем, описываемых нелинейными уравнениям, и об их устойчивости. Ознакомить их с понятиями динамического хаоса, бифуркациями и фрактальностью.
Динамика Ферхюльста.
В качестве модели в данной работе используется уравнение Ферхюльста, предложенное им в 1845 г. и описывающее динамику роста численности популяции организмов. Как было выяснено позднее (более чем через сто лет), это уравнение носит принципиальный характер, и предсказанные им сценарии были обнаружены при описании некоторых свойств турбулентного потока, а также в исследованиях по лазерной физике, гидродинамике и кинетике химических реакций. Уравнение Ферхюльста описывает изменение численности n популяции от времени и в дифференциальной форме выглядит следующим образом: dn/dt = αn - βn2 , где в правой части 1-е выражение соответствует количеству рождений, а 2-е количество смертей. При некой начальной численности n, не равной нулю, популяция будет расти до определенного максимального значения Nmax = α/β (Рис. 1.1). Это значение называют емкостью среды.
Рисунок 1.1.
Однако запись уравнения Ферхюльста в дифференциальной форме, подразумевает, что значения dn и dt могут быть сколь угодно малыми. А реально dn не может быть меньше чем одна особь, а dt меньше, чем минимальное время воспроизводства. Т.е. эти величины дискретны. Поэтому уравнение Ферхюльста правильнее записать в численном виде.
Пусть N0 - начальная численность популяции. Через год ее численность станет равна N1, а через n лет - Nn. Через n+1 станет равной Nn+1 и так далее.
Однако в реальных условиях численность популяции не может расти бесконечно, и есть некоторое максимальное значение Nmax, которое определяется количеством особей способных прокормиться на территории их обитания. Если количество особей превышает это значение, численность популяции убывает, если меньше - возрастает. При построении моделей используют не абсолютные значения Nn, а относительную величину: xn = Nn/ Nmax, тогда xmax = Nmax/ Nmax = 1.
Коэффициент прироста популяции R определяется как относительное изменение численности:
. Чтобы популяция бесконечно не увеличивалась, коэффициент R должен, с приближением к Nmax (xn = 1), уменьшаться до 0. Тогда можно записать: 
, и из этого можно вывести, уравнение Ферхюльста. Оно описывает динамику роста численности популяции, и представляет собой нелинейное уравнение следующего вида: 
. Где xn - численность популяции через n лет, xn+1 - на последующий год, r - параметр роста. Первое выражение в правой части уравнения - равно приросту численности популяции, а второе - ее убыли.Анализ динамики роста численности популяции заключается в исследовании изменения численности особей во времени при разных значениях параметра роста r. Для этого используются соответствующие программы, позволяющие последовательно рассчитать, на основании уравнения Ферхюльста, численность популяции от начального значения x0 до значения в n-й год xn. При подстановке в правую часть уравнения x0 сначала находится x1, затем по x1 находится x2 , и так далее... Уравнение Ферхюльста является частным случаем процесса с обратной связью, в котором одна и та же операция выполняется снова и снова, и результат одной операции является начальным значением для следующей (Рис. 2.8.).
Рисунок 1.2.
Единственное, что требуется, чтобы динамический закон xn+1 = f(xn) был более сложным, чем простая пропорциональность xn+1 = kxn. На рисунке c является параметром, от которого зависит этот динамический закон. Изучение динамики роста, в зависимости от параметра роста показывает, что она существенно сложней, чем приведенная на рисунке 1.8. При определенных значениях этого параметра возникает колебательный режим, затем усложнение характера колебаний вплоть до не предсказуемой хаотической динамики. Такая динамика называется динамическим хаосом. Динамический хаос в отличие от теплового хаотического движения детерминирован: он имеет структуру и в его основе лежит строгое математическое выражение. Точки перехода от одного характера динамики к другому имеют специфическое название - бифуркации. Кроме этого, оказалось, что диаграмма, отражающая возможный характер динамики в зависимости от параметра роста (сценарий Ферхюльста) является фрактальной структурой.
Фракталы (дробный, самоподобный) - объекты, проявляющие по мере увеличения все большее число деталей. Вид этих деталей подобен форме самого объекта и сами они состоят из подобных себе структур. Примеры фрактальных структур приведены на иллюстрациях рисунка 1.3.
Рисунок 3.8.
Нажимая на кнопки, можно просмотреть примеры фрактальных структур.
Лабораторная работа № 11. Порядок выполнения работы.
Задание 1. Зависимость динамики Ферхюльста от параметра роста.
Ознакомьтесь с теоретической частью работы.
Откройте рабочее окно.
А). Задайте одинаковое значение параметров роста r = r' = 1 и одинаковые начальные значения численности x0 = x'0 =0,02. Нажимая кнопку Пуск проследите, как меняется численность популяций со временем (для расчета сразу всей кривой можно переключить переключатель в правой части окна и нажать клавишу Пуск ). Задайте начальное значение x'0 = 0,4 и проследите за динамикой численности популяций. Задайте начальное значение x'0 =1,2 и вновь проследите за изменением численности популяций. Зарисуйте наблюдаемую динамику популяций. Можно ли сделать вывод, что при параметре роста равному 1, не зависимо от начальных значений, численность популяций со временем выходит на стационарный уровень, т.е. после начальных изменений значение численности становится неизменным и не меняется год от года?
Б). Оставив параметр роста r =1, задайте значение r' = 1,8. Начальные значения численности сделайте одинаковыми x0 = x'0 =0,02. Пронаблюдайте за динамикой численности. Зарисуйте наблюдаемую динамику популяций. Вышла ли численность популяции при параметре роста 1.8 на стационарный уровень?
В). Задайте значение r' = 2,3. Пронаблюдайте за динамикой численности популяций. Сравните динамику при r = 1 и при r' =2,3. Как изменилось изменение численности от времени при параметре роста равным 2,3. Пришла ли численность к стационарному уровню? После начального переходного периода принимает ли величина численности популяции определенные значения и сколько их? Можно ли говорить о периодических колебаниях численности популяции? Если да, то каков период этих колебаний? Зарисуйте наблюдаемую динамику.
Г). Задайте значение r' = 2,5. Проанализируйте, как и в предыдущем задании, динамику численности для этого случая. Исключая начальную часть, связанную с ростом популяции, определите, сколько значений может принимать ее численность в установившемся динамическом режиме. Какой период повторения этого режима? Зарисуйте наблюдаемую динамику.
Д). Задайте значение r' = 3,0. Проанализируйте, как и в предыдущих заданиях, динамику численности для параметра роста 3,0. Можно ли в этом случае говорить о закономерностях в динамике численности или она носит хаотический характер?
Е). Сделайте общий вывод. Какие параметры роста для данной системы (популяции) наиболее благоприятны? При каких параметрах роста динамика численность предсказуема? Как меняется динамика численности популяции с увеличением параметра роста, и при каком параметре роста возникает динамический хаос? Динамическим хаосом называется хаотическое, непредсказуемое изменение состояния системы от времени.
Задание 2. Устойчивость сложных систем.
В реальных условиях мы можем иметь дело с популяциями, находящимися в стационарном состоянии, то есть, когда их численность достигла определенной величины и отклонения от этой величины вызваны случайными причинами. В этом случае важной характеристикой сложной системы является ее устойчивость. Если небольшое возмущение не выводит систему из стационарного состояния, то система находится в состоянии устойчивого равновесия. В противном случае равновесие является неустойчивым.
А). Предположим, что при r = 1.0 численность популяции вышла на стационарный уровень xмах =1.0. Исследуйте, что произойдет с популяцией, если параметр роста в результате, например, экологических факторов будет меняться от 1 до 3.0. Для этого задайте x'0 = 1.0, что соответствует стационарному значению численности. Значение r задайте равным 1. Меняя значения r' (1.0; 2.3; 2.5; 3.0), изучите, динамику для каждого параметра. Сделайте рисунок. Приведет ли изменение параметра роста к возникновению колебаний, если первоначально популяция находилась в стационарном состоянии? Можно ли в этих случаях по динамике численности определить, что параметр роста изменился?