Методические указания а. Д. Рожковский (стр. 19 из 20)

Фазовое пространство. Аттракторы.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Дать представление студентам о различных типах динамики сложных систем, об аттракторах и их свойствах.

Фазовое пространство. Аттракторы.

Динамику сложных систем во времени удобно анализировать с помощью фазового пространства - абстрактного пространства с числом измерений, равным числу зависящих от времени переменных, которые характеризуют состояние изучаемой системы. Размерность такого пространства будет зависеть от числа переменных: для n переменных это будет n-мерное пространство, а время будет выступать в качестве внешнего параметра. Точка в таком пространстве будет соответствовать конкретному состоянию системы, а ее перемещение изменению этого состояния. На рисунке 1.9 приведен пример динамики системы жертва-хищник, полученной на основании модели Вольтерра-Лотки. Параметрами этой системы является численность жертвы и численность хищника, изменение которых от времени носит колебательный характер. В фазовом пространстве этой динамике соответствует движение точки, определяющей состояние системы, по замкнутой кривой.

C:\www\doc2html\work\bestreferat-411759-14098678075836\content_t.html

Рисунок 1.9.

Изучение динамики сложных систем обычно проводят с использованием ЭВМ. Если известна зависимость каждого параметра от времени, то, задавая различные начальные значения параметров можно проследить за их дальнейшим изменением во времени, т. е. за изменением состояния всей системы. При этом точка в фазовом пространстве будет перемещаться, и описывать соответствующую траекторию, которая и будет отражать динамику изменения состояния системы от времени.

Если при различных начальных условиях все траектории в фазовом пространстве будут уходить в бесконечность, это будет говорить о том, что у такой системы нет устойчивого состояния.
В случае, когда все они закончатся в одной точке, т.е. система придет к конкретному состоянию, и большее с ней не будет происходить никаких изменений, то такая точка будет являться точкой устойчивого состояния. После выхода из этого состояния, под действием кратковременного возмущения, система всегда вернется в это же состояние.

В этом случае, все траектории заканчиваются в точке, то есть она как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Такая точка называется аттрактором (англ. to attract -"притягивать") типа «притягивающая точка». Понятие аттрактор является обобщением понятия равновесия для сложных систем.

Другим видом аттрактора в фазовом пространстве будет являться замкнутая кривая, если на нее выходят все фазовое траектории, и дальнейшее движение будет происходить только по этой кривой. Т. е. система приходит к состоянию динамического равновесия, когда она циклически проходит одни и те же состояния. Такие виды аттракторов называют предельными циклами.

К предельным циклам относятся и более экзотические виды аттракторов такие, когда в фазовом пространстве существует две или больше точек, к одной из которых, в зависимости от начальных условий, притягивается фазовая траектория. Затем система в определенном порядке начинает циклически перескакивать из одной точки в другую. В зависимости от числа состояний (2, 3, и т.д.), которые периодически повторяются, такие виды аттракторов называют предельными циклами периода 2, 3 и Т.Д.

В определенных случаях все фазовые траектории притягиваются не точкой и не замкнутой кривой, а некоторой областью фазового пространства, попав в которую и не выходя из нее, точка описывает в ней не предсказуемую, хаотическую траекторию. Эти области называются странными аттракторами, и траектории в них могут быть рассчитаны только с применением ЭВМ.

Поведение системы в области странного аттрактора чувствительно к начальным условиям. Даже незначительная разница в начальных условиях двух систем приведет к тому, что в области странного аттрактора их траектории разойдутся, и в одно и то же время они будут находиться в разных состояниях.

Лабораторная работа № 12. Порядок выполнения работы.

Задание 1. Фазовое пространство. Аттракторы.

Ознакомьтесь с теоретической частью работы.

Откройте рабочее окно. Задание №1.

А). Слева приводится динамика колебательного процесса в фазовом пространстве, а справа график зависимости параметров колебательной системы от времени. От параметра μ зависит характер динамики. Перемещая красную точку в фазовом пространстве можно задавать различные начальные значения. Задайте параметр μ = -0,2. Меняя расположение красной точки, и нажимая клавишу, Пуск проследите за динамикой системы в фазовом пространстве для разных начальных значений. Зарисуйте наблюдаемую картину и на фазовой траектории стрелкой укажите направление движения. Есть ли у данной системы аттрактор? К какому типу аттракторов он относится? Отметьте его на рисунке. Пришла ли система к определенному состоянию, и является ли оно устойчивым?

Б). Задайте параметр μ = 0,2. Проделайте для данного значения то же самое, что и в предыдущем пункте. Составьте обобщенный рисунок и укажите стрелкой направление движения по фазовым траекториям. Определите тип аттрактора в этом случае. Пришла ли система при этом параметре к конкретному состоянию или ее состояние меняется? Можно ли в этом случае говорить о динамическом равновесии, и является ли оно устойчивым?

Задание 2. Аттрактор Лоренца.

А). Закройте рабочее окно этого задания и перейдите в рабочее окно задания № 2. Нажимая клавишу, Пуск проследите за фазовой траекторией аттрактора Лоренца. Увеличьте левой кнопкой мыши изображение аттрактора. Есть ли в данном типе аттрактора притягивающая точка или замкнутая кривая? Повторяются ли какие-нибудь определенные состояния системы или в каждый момент времени они разные? Используя правую кнопку мыши, верните изображение в исходное состояние. Зарисуйте наблюдаемую траекторию и укажите стрелкой направление движения по ней.

Б). Измените ненамного начальное значение x₀: вместо 0,1 задайте значение 0,101. Нажимая клавишу, Пуск проследите за фазовой траекторией аттрактора Лоренца. Нажимая поочередно клавиши Сравнить и Пуск, изучите как меняется фазовая траектория аттрактора Лоренца от изменения начальных данных. Существенно они изменились они или нет? Зависит ли фазовая траектория от небольшого изменения начальных параметров? Можно ли на основании сделанных выводов утверждать, что аттрактор Лоренца является странным аттрактором, который описывает состояние системы, не приходящей к определенным значениям и чувствительной к начальным условиям?

Задание 3. Фазовый портрет динамики Ферхюльста.

А). Закройте рабочее окно этого задания и перейдите в рабочее окно задания № 3. В рабочем окне программы на графике справа изображается, рассчитанная итерационным методом, численность двух популяций в зависимости от времени. Одно деление соответствует 1 году. На левом графике фазовый портрет этих зависимостей. Квадратик и кружок на этом рисунке указывают на состояние той и другой популяции в конкретный момент времени. Задайте параметр роста r = 1.8, а начальные значения численности популяций x₀ =0.52, x' ₀ =0.55. Это будет соответствовать разнице в начальных значениях численности равной 6%. При последовательном нажатии на клавишу Пуск будут меняться моменты времени, и вы можете изучить на фазовом портрете характер изменения состояния систем. Нажимая клавишу Пуск, проследите, на левом рисунке, как меняется от времени их основной параметр (численность). Нажатие на клавишу продолжайте до тех пор, пока не установится стационарный режим. Придут ли обе системы к одному стационарному состоянию? Какой тип аттрактора соответствует стационарному состоянию? Зарисуйте левый график. Отметьте на нем аттрактор.

Б. Измените значение параметра роста на 2.3. Выполните те же операции, что перечислены в пункте 1. Придут ли обе системы к одинаковому циклическому режиму? Можно ли говорить, что они пришли к состоянию динамического равновесия? Каким типом аттрактора оно описывается? Зарисуйте левый график. Отметьте на нем точки аттрактора.

В). То же самое сделайте для параметра роста 2.5. Можно ли говорить, что системы пришли к состоянию динамического равновесия? Каким типом аттрактора оно описывается? Зарисуйте левый график. Отметьте на нем точки аттрактора.

Г). Исследуйте таким же образом систему при параметре роста 3.0. Придут ли в данном случае системы к определенному состоянию или к определенному циклическому режиму? Зарисуйте левый график. Какой тип аттрактора в этом случае соответствует системе?

Д). При параметре роста 3.0, измените, начальное значение x'₀ на 0.05001, а x₀ = 0.05, что соответствует их отличию в 0,02%. Последовательно нажимайте на Пуск, пока точки на фазовом портрете заметно не разойдутся, то есть состояния этих систем начнут отличаться. По правому графику определите через, сколько лет это произошло. Результат запишите.

Е). Измените, начальное значение x'₀ на 0.050001, что соответствует их отличию в 0,002%. Последовательно нажимайте на Пуск, пока точки на фазовом портрете не разойдутся на тоже расстояние, что и в предыдущем случае. Определите через, сколько лет это произошло. Результат запишите.

Ж). Измените, начальное значение x'₀ на 0.0500001, что соответствует их отличию в 0,0002%. Последовательно нажимайте на Пуск, пока точки на фазовом портрете не разойдутся на тоже расстояние, что и в предыдущих случаях. Определите через, сколько лет это произошло. Результат запишите.

З). Учитывая то, что каждый раз вы уменьшали начальную разницу между численностью популяций в 10 раз, сравните это с тем временем, через которое эти различия начинают проявляться. Увеличивалось ли оно, так же в 10 раз? Модель сложной системы всегда некоторая идеализация, в которой учитывают не все факторы, и всегда существует погрешность в задании начальных условиях. Прогнозы для таких систем возможны, если эта погрешность не влияет на результат. В нашем случае погрешность составляла 0,002%, 0,0002% и 0,00002%. Пока эта разница не начинала проявляться, поведение систем было одинаковым, то есть прогнозируемым. На основании проведенного исследования, что Вы можете сказать о долгосрочных прогнозах, об изменении состояния сложных систем, если они, как и в нашем случае, описываются странным аттрактором? Можно ли повышая точность задания начальных данных существенно увеличить долгосрочность прогнозов? Можно ли в принципе сделать правильный долгосрочный прогноз системы, если ее состояние описывается странным аттрактором?