Методические указания а. Д. Рожковский (стр. 2 из 20)
Закон всемирного тяготения гласит, что каждая масса M1 притягивается к другой массе M2 во Вселенной с силой равной:
, гдеG – гравитационная постоянная, имеющая величину 6,67·10-11 н·м2/кг2
– вектор, идущий от M1 к M2 .
Сила всемирного тяготения - центральная сила: она направлена по линии, соединяющей две материальные точки.
При решении задачи Кеплера (нахождения орбит движения 2-х тел, силы взаимодействия между которыми определяются законом обратных квадратов), надо учитывать, что двигаться будут оба тела относительно центра масс O (рис.1.1.)
Рисунок 1.1.
Движение двух тел вокруг центра масс O
Эта задача может быть сведена к задаче о движении одного тела имеющего приведенную массу:
Ее решение представляет собой уравнение конического сечения (эллипс, окружность, парабола или гипербола).
Если M1 << M2, то центр масс практически совпадает с центром центрального тела и его можно считать неподвижным.
Скорость круговой орбиты можно найти из условия, что на планету (или спутник) движущуюся вокруг центрального тела действует сила тяготения, которая играет роль центростремительной силы, удерживающей тело на криволинейной траектории, и равная ей, но противоположно направленная центробежная сила.
или 
, 
, гдеR – радиус круговой орбиты;
M1 - масса планеты (спутника);
M2 - масса центрального тела;
v1 - скорость движения планеты (спутника) по круговой орбите. Эту скорость называют первой космической скоростью.
Скорость движения по круговой орбите можно выразить через период T и радиус орбиты R: v1 = (2πR)/T.
Подставив это выражение в формулу первой космической скорости и, возведя обе части в квадрат, получим следующее выражение:
; или 
, это по существу и есть третий закон Кеплера. Для всех планетных орбит отношение 
является постоянной величиной. Используя это соотношение, по радиусу орбиты R и периоду T можно определить массу центрального тела M2.Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, при которой орбита перестает быть замкнутой, и спутник, преодолев силу тяготения, покидает центральное тело. Эта скорость равна:
Движение по круговой орбите происходит, если спутник, находящийся в точке P на расстоянии R от центрального тела O (рис.1.2.), будет иметь скорость vp^ отрезку OP и равную первой космической скорости. Введя коэффициент α =, можно построить семейство орбит для различных скоростей vp. vp/ v1
Рисунок 1.2.
Орбиты, имеющие общую точку P, и разную скорость vp = α·v1
Если α = 1, то орбита круговая. Если α < 1, или α > 1, но <
- орбита эллиптическая. При α = 
- параболическая, а при α > - гиперболическая.Второй закон Кеплера выводится из закона сохранения момента импульса. Момент импульса тела определяется выражением: M=[r,p], где
[r,p] - векторное произведение (см. рис. 1.3.).
Рисунок 1.3.
Момент импульса M = const в отсутствие внешних моментов вращения. Если считать возмущающее действие других планет незначительным, то момент импульса при движении планеты вокруг Солнца остается постоянным. Из этого следует, что и секторальная скорость Δs/Δt будет постоянной (рис. 1.4.).
Рисунок 1.4.
Лабораторная работа № 1. Порядок выполнения работы.
Движение в поле центральных сил. Гравитационное взаимодействие.
Задание 1. Специфические особенности орбитального движения.
Ознакомьтесь с теоретической частью работы.
Откройте рабочее окно.
Нажмите кнопку Пуск. Используя кнопки движения ракетой (←,→ и ↑), и увеличивая или уменьшая орбитальную скорость, попробуйте догнать спутник, двигающийся по той же орбите. При управлении ракетой, кнопкой Стоп можно остановить движение, а кнопкой Очистить удалить изображение траекторий. Если ракета вышла за пределы окна, используйте движок изменения масштаба. Кнопка Сброс восстанавливает начальные параметры движения.
Какие силы действуют на ракету при ее движении по орбите? Дайте объяснение изменению характера движения при увеличении и уменьшении ее орбитальной скорости.
Довольно часто в фантастических фильмах при изображении погони космических кораблей вблизи планеты, действия главных героев мало чем отличаются от действий при движении на автомобиле - чтобы догнать преследуемый корабль надо увеличить скорость, при уменьшении скорости преследующий корабль начинает отставать.
На основании проведенных наблюдений, поясните, почему для орбитального движения вблизи планеты действия главных героев не соответствуют действительности?
Задание 2. Определение массы центрального тела (Земли). Определение величины отношения R3 к T2r
Нажмите кнопку Сброс, а затем кнопку Пуск. Дождитесь, когда ракета совершит полный оборот вокруг Земли и в окне периода появится его значение. Остановите движение и запишите значение периода ракеты. Расположите линейку точно по центру Земли, и увеличив изображение правой кнопкой мыши определите радиус круговой орбиты ракеты и запишите его значение. Переведите значения периода и радиуса орбиты в единицы СИ. Используя формулу в теоретической части рассчитайте массу Земли. Для повышения точности расчетов используйте значение π = 3,14159. Результаты расчетов занесите в таблицу:
Таблица 1.1.
| R (м) | R3 | Tr(с) | T2r | R3/T2r | Mз(кг·1024) |
Задание 3. Определение величины отношения a3 к T2.
До запуска движения, ракету можно перемещать по горизонтальной оси, приближая или удаляя ее от центрального тела. В этих случаях, при одной и той же начальной скорости v = 3,415 км/с, орбиты уже не будут круговыми. Последовательно задавая 4 разные начальные расстояния от Земли (2 - значения меньше и 2 - больше исходного расстояния), проследите, как будет меняться орбита ракеты. Для каждого случая запишите значение периода обращения ракеты и измерьте большую полуось ее орбиты. Для этого при помощи линейки измерьте расстояния от центра Земли до левой крайней точки орбиты и до правой. Полученные значения сложите и разделите на 2. Для каждого случая найдите отношение a3/T2. Сравните полученные значения со значением R3/T2, которое было найдено в предыдущем задании. Рассчитайте среднее значение a3/T2. Все полученные результаты занесите в таблицу 1.2.
Таблица 1.2.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 |
| a (м) | ||||
| a3 | ||||
| T (c) | ||||
| T2 | ||||
| a3/T2 | ||||
| a3/T2 среднее | ||||
Какой вывод можно сделать на основании полученных результатов?
Задание 4. Орбитальное движение в зависимости от отношения α = vp/v1.
Для исходного расположения ракеты относительно Земли скорость v = 3,415 км/с - это первая космическая скорость v1. Если скорость будет другая, то орбита уже не буден круговой. В зависимости от коэффициента α = vp/v1, орбита может быть эллиптической, параболической и гиперболической. Переведите движок масштаба в крайнее нижнее положение. Задавая в окне, рядом с кнопкой Проверить, разные значения скорости vp, в соответствие с таблицей 1.3, пронаблюдайте как меняется траектория в зависимости от параметра α.
Таблица 1.3.
| vp (км/с) | 2,561 | 4,098 | 4,440 | 4,829 | 8,540 |
| α = vp/v1 | 0,75 | 1,2 | 1,3 |  | 2,5 |
В схематичном виде изобразите, как меняется орбита в зависимости от α. Почему при α >
орбита перестает быть замкнутой?