Методические указания а. Д. Рожковский (стр. 6 из 20)
x1(t) = A1cos(w0t + j1), x1(t) = A1cos(w0t + j1)
Сумма двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием той же круговой частоты:
x = x1 + x2 = Acos(w0t + j)
Значения амплитуды А и начальной фазы φ этого гармонического колебания будет зависеть от амплитуд исходных колебаний и их начальных фаз (Рис. 1.2).
 |
Рисунок 1.2.
Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты
На рисунке 1.2. приведено два примера А и В сложения гармонических колебаний с использованием метод векторных диаграмм. Из векторных диаграмм видно, что направление (начальная фаза φ) и длинна А вектора амплитуды суммарного гармонического колебания зависит, как от направления (от начальных фаз), так и от длинны векторов амплитуд исходных гармонических колебаний.
Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен 0, то исходные колебания находятся в фазе и суммарная амплитуда (А =А1 +А2) будет максимальна. Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен - π или π, то исходные колебания находятся в противофазе и суммарная амплитуда (А = êА1 - А2ê) будет минимальна. (ПРИМЕР
)Сложение двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами.
(Биения и модуляции)
Если частоты колебаний и , неодинаковы, векторы А1 и А2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с не постоянной скоростью. Результирующим движение уже будет не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.
Биения
Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса (Рис 1.3.).
 |
Рисунок 1.3.
Биения
За счет того, что вращение векторов А1 и А2 происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Тб (Тб = 2π/Δω), Δω - разность круговых частот исходных колебаний.
Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия и т.д. Для этого используют два одинаковых высокочастотных колебательных контура, имеющих одинаковую частоту. Если вблизи одного из них появится металлический предмет, частота этого контура немного изменится. При сложении сигналов от этих двух контуров, в суммарном сигнале возникнет низкочастотная составляющая. Ее можно выделить и подать в наушники, в которых возникнут звуковые колебания, сигнализирующие о наличии металлического предмета.
Модуляции
При сложении существенно отличающихся по частоте гармонических колебаний говорят о модуляции. В радиосвязи модуляция используется для передачи звукового сигнала. Для этого в передатчике на высокочастотный сигнал накладывается низкочастотный звуковой сигнал. Принимаемая в приемнике высокочастотная составляющая фильтруется, а низкочастотный сигнал подается на динамик для воспроизведения звука.
Лабораторная работа № 3. Порядок выполнения работы.
Гармонические колебания.
Задание 1. Характеристики гармонических колебаний.
Ознакомьтесь с теоретической частью работы. Откройте рабочее окно.
1.1. Используя правую кнопку мыши, увеличьте левую часть рабочего окна, так чтобы были видны только поля для ввода параметров гармонических колебаний и их векторные диаграммы.
Задавая последовательно для одного из гармонических колебаний значения начальной фазы φ = 0·π; 0.2·π; 0.5·π; 0.8·π; 1·π; 1.2·π; 1.5·π,; 1.8·π; 2 ·π, проследите, как меняется направление вектора амплитуды, и как меняется его проекция на ось x.
При каких значениях начальной фазы φ модуль проекции вектора амплитуды на ось x равен длине этого вектора, а при каких равен 0?
При каких значениях начальной фазы φ проекция вектора амплитуды на ось x отрицательна, а при каких положительна?
1.2. Задайте для гармонических колебаний одинаковую начальную фазу φ = 0.2·π, совместите верхнюю векторную диаграмму с нижней. Задайте для одного из колебаний значение начальной фазы φ = 1.2 ·π, и вновь совместите векторные диаграммы.
В каком из этих двух случаев, сумма проекций векторов амплитуд будет равна 0, а в каком - удвоится?
1.3. Используя правую кнопку мыши, уменьшите рабочую модель до исходного размера. Задайте любое значение периода Т из интервала 120 с - 200 с для одного из колебаний, а другого из интервала 10 с - 50 с. Сделайте амплитуду одного из сигналов меньше, чем другого, и обратите внимание, как измениться при этом векторная диаграмма. Нажав кнопку Пуск, пронаблюдайте, как вращаются вектора амплитуд этих колебаний.
В каком из этих двух случаев скорость вращения (круговая частота) больше, а в каком меньше?
Перерисуйте два верхних правых графика и обозначьте на них амплитуды и периоды сигналов.
Задание 2. Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты.
2.1. Задайте для гармонических колебаний одинаковую начальную фазу φ = 0·π, одинаковые периоды и амплитуды. В этом случае разность фаз исходных колебаний Δφ = φ1 - φ2 = 0. Нажмите кнопку Пуск. После того как прорисуются графические изображения, совместите векторные диаграммы, слева от графиков, и передвигая измеритель вдоль шкалы времени, пронаблюдайте за изменением фазы гармонических колебаний от времени. Совместите верхний правый график со средним. Зарисуйте совмещенный график, и график суммарного сигнала. Определите амплитуду суммарного сигнала.
Почему в данном случае говорят, что гармонические колебания находятся в фазе?
2.2. Для одного из колебаний последовательно задайте несколько значений начальной фазы, увеличивая ее от 0·π до 1·π, каждый раз нажимая кнопку Пуск. Для каждого значения φ пронаблюдайте на векторной диаграмме, как меняется разность фаз Δφ, и как это изменение влияет на амплитуду суммарного колебания.
Сделайте вывод.
2.3. Для разности фаз Δφ = φ1 - φ2 = 1·π, после того как прорисуются графические изображения, совместите векторные диаграммы, слева от графиков, и передвигая измеритель вдоль шкалы времени, пронаблюдайте за изменением фазы гармонических колебаний от времени. Совместите верхний правый график со средним. Зарисуйте совмещенный график, и график суммарного сигнала. Определите амплитуду суммарного сигнала.
Почему в данном случае говорят, что гармонические колебания находятся в противофазе?
2.4. Задавая последовательно разность фаз Δφ = 2·π; 3·π; 4·π; 5 ·π, пронаблюдайте при каких значениях разности фаз колебания будут в фазе. а в каких в противофазе.
Сделайте вывод.
Задание 3. Биения.
3.1. Задайте любое значение периода Т из интервала 9с - 17 с для одного из колебаний, а для другого на 1 с больше или на 1 с меньше. Нажмите кнопку Пуск. Пронаблюдайте за суммарным сигналом. После того как прорисуются графические изображения, совместите векторные диаграммы, слева от графиков, и совместите верхний правый график со средним. Передвигая измеритель вдоль шкалы времени, пронаблюдайте за изменением разности фаз гармонических колебаний от времени. В тех точках временной шкалы, где наблюдаются максимумы и минимумы амплитуды суммарного сигнала, по векторной диаграмме и по совмещенному графику определите, в каких случаях фазы исходных колебаний совпадают, а в каких они находятся в противофазе.
На основании наблюдений объясните, за счет чего возникают биения?
Были ли в исходных гармонических колебаниях медленные изменения амплитуды, как в суммарном колебании, или они возникли в результате сложения?
3.2. Зарисуйте график суммарного сигнала и обозначьте на нем период биений Tб.
По нижнему графику модели, используя измеритель, определите период биений Tб, и по нему рассчитайте частоту биений νб = 1/Tб. Рассчитайте по периодам исходных колебаний T1 и T2 частоты ν2 и ν1.
Найдите их разность Δν =ν2 - ν1 = 1/T2 - 1/T1.Сравните Δν и νб.
Сделайте вывод. На основании вывода заполните таблицу:
| νб | 1 | 3 | 4 | 8 |
| ν1 | ||||
| ν2 |
Значения ν2 или ν1 выбираются произвольно, но так, чтобы выполнялось условие для возникновения биений с частотами, указанными в таблице. Будут ли наблюдаться биения, если задать ν1 =1Гц и ν2 =2Гц?
Задание 4. Модуляции.
4.1. Задайте любое значение периода Т из интервала 120 с - 200 с для одного из колебаний, а другого из интервала 10 с - 20 с. Нажмите кнопку Пуск. Пронаблюдайте за суммарным сигналом. После того как прорисуются графические изображения, поочередно совместите верхние графики с нижним, и оцените, какой вклад вносит каждое из исходных гармонических колебаний. Зарисуйте суммарный график (без исходных сигналов) и отметьте на нем периоды исходных колебаний.