Ход работы программы заключение Список источников и литературы Введение (стр. 1 из 2)
Реферат
ученицы 10 класса «Б»
Киракосовой Таисии
по теме:
«Множество Жулиа и Мандельброта»
Научный руководитель:
Таранов А.А.
Оглавление
Введение.………………………………………………………………………3
Глава 1. Фракталы
1.1. Определение фракталов …………………………………………………4
1.2. Типы фракталов …………………………………………………………4
1.3. Роль фракталов в современном мире……………………………………6
Глава 2. Множество Мандельброта
2.1.Общие сведения …………………………………………………………... 7
2.2. История……………………………………………………..………………8
2.3 Взаимодействие с множеством Жулиа……………………………………8
Глава 3.Описание программы
3.1 Операции над комплексными числами…………………………………... 9
3.2. Структура программы……………………………………………………..10
3.3. Ход работы программы …………………………………………………..11
Заключение .……………………………………………………………………12
Список источников и литературы……………………………………………..13
Введение
Актуальность: данная тема является очень важной в современном мире. В настоящее время фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов. Так же используются у «трейдеров» для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов.
Целью моей работы являлось создание программы для изучения множества Мандельброта в программе Adobe Flash CS3. Из поставленной цели выделялись следующие задачи:
1) Изучение и сбор информации по темам «Фрактальные множества» и «Множество Мандельброта»;
2) Изучение комплексных чисел и математических операций над комплексными числами;
3) Изучение среды Flash и основ программирования на Action Script;
4) Создание программы для изображения множества Мандельброта в программе Adobe Flash CS3;
Глава 1. Фракталы
1.1.Определение фрактала[1]
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского "fractus" и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'‚ в его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие ‚ в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.
Определение фрактала, данное Мандельброттом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".
1.2 Типы фракталов
- Геометрические фракталы
Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.
- Алгебраические фракталы
Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.
Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
- Стохастические фракталы
Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
1.3 Роль фракталов в современном мире[2]
Одно из главных применений фракталов - это машинная графика. С помощью них можно создать поверхности очень сложной формы, а изменяя всего несколько коэффициентов в уравнении добиваться практически бесконечных вариантов исходного изображения. Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста
1. неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
2. неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»)
Глава 2. Множество Мандельброта
2.1 Общие сведения[3]
Одним из наиболее известных примеров может являться множество Мандельброта. В математике это фрактал, определённый как множество точек
на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность 
не уходит в бесконечность.Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду (плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом). Также есть набор кругов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих кругов имеет свой набор меньших кругов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений.
2.2 . История [4]
Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные процессы вида
Начав с точки
на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании Фату нашел, что орбита
при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер.