Дарья. Шестак О. Н. 2010 г. Абай Содержание. Введение. Основное (стр. 2 из 3)
Путник! Здесь прах погребён Диофанта,
И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.
Часть шестую его представляло счастливое детство.
Двенадцатая часть протекла ещё жизни –
Пухом покрылся тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.
Прошло пятилетье.
Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенства сына,
Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился,
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант?
В средневековой Европе мысли Диофанта получили большое распространение и развитие. В 17-18 веках буквами для обозначения неизвестных стали пользоваться все математики. Большое влияние на развитие математики в Европе оказало сочинение Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала». А само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки- алгебра. В труде Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала» есть очень много старинных задач из разных народов. Вот только некоторые из них:
1. Древнеегипетская задача.
Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти количество, при этом решив задачу в уме.
2. старинная русская задача.
Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель же ответил: «Если ко мне придёт ещё столько же, сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Сколько было у учителя учеников?
3. Древнеиндийская задача.
Есть камбада цветок.
На один лепесток пчёлок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность ты их найди, трижды ты их сложи,
На кутай этих пчёл посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Всё летала то взад, то вперёд
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчёлок всего здесь собралось?
В «Китаб аль-джебр валь-мукабала» нет двух очень важных для решения уравнения вещей. Во-первых, Аль-Хорезми не был знаком с «Арифметикой» Диофанта и поэтому не использовал изобретенных им отрицательных чисел. Во-вторых, он совсем не использовал никаких букв и чисел, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра совсем без букв, все на словах, все в уме. Такая алгебра – её позднее назвали риторической – требовала большого мастерства и была очень трудной. Совсем трудно стало тогда, когда люди научились решать уравнение не только первой степени и не только с одним неизвестным.
Решение уравнения второй степени с тремя неизвестными.
В своей работе мы хотим уделить внимание одному из таких уравнений: 
Оно относится к так называемым «диофантовым», решением которых являются целые числа. Одна частная задача на данное неопределенное уравнение возникла примерно за 2 тыс. лет до Диофанта в Древнем Египте: если стороны треугольника пропорциональны числам 3,4,5 то этот треугольник прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Поступали довольно просто. На верёвке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы. В точке С, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали второй колышек в точке B (СВ=4) и натягивали веревку так, чтобы АС=3 и АВ=5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Иначе говоря, числа 3,4.5 являются корнями уравненияСразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных значений, и нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два. Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. они нашли ответы на них, знал это и Пифагор.
Один из путей решения уравнения
в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив, их друг от друга запятой. Под каждой запятой подпишем разность между последовательными квадратами: 
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256… .3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31… .
А теперь внимание! В нижней строке есть квадратные числа! Первое из них 9=
, над ним 
16= 
и 25=, з знакомая нам тройка 3, 4, 5.Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если продолжить строку квадратных чисел и посчитать соответствующие разности, то во второй строке найдёте 49=
, этому числу отвечают в строке квадратов 576= 
и 625= 
. И действительно, 
+ 
= 
. Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Кстати, теперь мы имеем право сформулировать такую теорему:КАЖДОЕ НЕЧЁТНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ РАЗНОСТЬ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТОВ.
Составлять такие строки (лучше говорить «последовательности») – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Эти формулы-правила были известны уже две с половиной тысячи лет назад.
Проверьте что если x - нечетное число, то y=
и z= 
. Проверьте также, что в этом случае равенство 
выполняется, т.е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:Если x=3, то y=
=4, z= 
=5, получилась первая пифагорова тройка;Если x=5, то y=
=12, z= 
=13, вторая пифагорова тройка;Если x=7, то y=
=24, z= 
=25, третья тройка;Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда y=40 и z=41.
Проверим наша вычисления:
Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Сделаем этот шаг и мы.
Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
;
.Это означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y, которые мы обозначим так, что получится система:
Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:
z = = ; y= ; x=2ab(при этом надо иметь в виду, что a>b).
Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z. Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу.
Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников.
 а в | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 2 3 4 | 3, 4, 5 | 6, 8, 10 5, 12, 13 | 8, 15, 17 12, 16, 20 7, 24, 25 | 10, 24, 26 20, 21, 29 | 12, 35, 37 24, 32, 40 27, 36, 45 |
 |
1.Старинная задача.
Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, у стены же тоя высота есть 117 стоп. И ведати хощет Колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.