статьи

Ó Стрекалова Е.А., 1998.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТОЧЕК ПРОСТРАНСТВА НАД ОДНОЙ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРОЙ РАЗМЕРНОСТИ 3

Реферат статьи

Рассмотрим ту же последовательность, что и в статье [1] (формула (1)),

z_n+1 = z_n² + z_n-1 , где z₁ = z₀² + z₀

но будем считать, что z_n - не комплексное число, а 3-мерный вектор: z = (x, y, v). В этом случае вместо ожидаемого ухудшения сходимости последовательности получаем ее значительное улучшение.

Последовательность (1) является разностной схемой для решения дифференциального уравнения dz / dt = z² с начальным условием z=z₀ при t ≤0. Эта разностная схема не сходится к точному решению и представляет самостоятельный интерес как последовательность объектов z_n.

Введем умножение 3-мерных векторов:

a ∙ b = (( a₁b₁ - a₂b₂ + a₃b₃); (a₁b₂ + b₁a₂); (a₃b₁ - a₁b₃)).

Алгебра A₃¹ c таким умножением является неассоциативной, некоммутативной, без деления, с правым обратным и правой единицей (1,0,0). Заметим, что формула (1) не требует ассоциативности и коммутативности умножения.

Как известно, теорема Фробениуса запрещает расширение поля комплексных чисел в пространство [2]. Однако известны попытки такого расширения [3]. Построение алгебры А₃¹ не противоречит теореме Фробениуса, т.к. А₃¹ - без деления. Положительные свойства А₃¹ : (а) она «натянута» на поле комплексных чисел, т.е. при a₃=b₃=0 получаем поле комплексных чисел; (б) при использовании А₃¹ получаем гармоничные и устойчивые формы последовательности (1).

Область сходимости (область квазисходящихся последовательностей с n_*=10000) представляет собой Х-образную пространственную фигуру в фазовом пространстве OX₀Y₀V₀. Сечения «ножек» области сходимости плоскостями v₀ = const имеют вид «клякс»:

v₀ = 0,3 v₀ = 0,5

Для заданного z₀ точки рассматриваемой последовательности при введенном выше умножении располагаются на плоскостях v = v₀. Большинство квазисходящихся последовательностей имеет форму двух пересекающихся овалов (рис.13). Ниже приведены наиболее интересные примеры расположения точек, полученные, в основном, на периферии области сходимости. Первая цифра в номере рисунка - 5 - номер комплекта этих рисунков в полном тексте статьи; N - число точек, представленных на рисунке; «центр» - координата «y» центральной точки рисунка (ее координата «х» равна нулю); «квадрат» - сторона квадрата, в который заключен рисунок.

На рисунках 8,9,10,12,21,23 представлены стационарные последовательности. Фигура на рис.3 похожа на лотос, являющийся одним из символов индийской и теософской философии.

В книге [4] описано использование Слова, формы, цвета и звука в медитации. Можно провести аналогию с рассмотренной последовательностью: Слово - формула (1); форма - расположение точек на плоскости; цвет и звук - получаемые на основе последовательности картины (см. [1]) и музыка (каждой точке ставится в соответствие нота).

Поскольку при расчетах мы всегда имеем дело с некоторой машинной реализацией последовательности, возникает вопрос, насколько последняя совпадает с истинной. Опыт работы с такими последовательностями, расчеты с разными компьютерными точностями, хорошая устойчивость квазисходящихся и наличие стационарных последовательностей позволяет говорить о совпадении свойств истинной и «машинной» последовательностей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cтрекалова Е.А. Об одной последовательности комплексных чисел.

2. Общая алгебра. Т.1. / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романьков и др. - М., Наука. 1990. (Справ. матем. б-ка).

3. Елисеев В.И. Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного.- НИАТ, 1990.

4. Бейли Алиса А. Письма об оккультной медитации.- М., Майя, 1993.

Замеченная опечатка: на рисунках 5.1 – 5.24 везде вместо z₀ считать v_0.

По материалам статей "Об одной последовательности комплексных чисел" и настоящей сделан доклад на XL Юбилейной научной конференции Московского физико-технического института (28 - 29 ноября 1997 года, г.Жуковский, секция динамики неустойчивых систем).