по математике «Уравнения Пелля» (стр. 2 из 3)

аx+bу=0 (5)

Осталось решить это уравнение. Снова введём d=НОД (a,b). Тогда a=a’d, b=b’d, где НОД (a’, b’)=1. Уравнение (5) перепишется в виде

a’x= - b’у,

а так как а’х делится на b’ и a’ взаимно просто с b’ , то х делится на b’.

Значит, х=b’ t, откуда у=- a’ t.

Теперь можем резюмировать. Если с не делится на НОД (a,b), то уравнение (1) решений не имеет. Если же с делится на НОД (a,b), то уравнение (1) имеет бесконечно много решений, получаемых по формулам

х=х₀+

, у=у₀- ,

где t – произвольное число, d= НОД (a,b), а (x_0,y₀) – частное решение, которое может быть найдено с помощью алгоритма Евклида.

§2. Уравнения Пелля.

1. Что такое уравнение Пелля?
Определение: Уравнения Пелля — это уравнения вида

х² - mу²=1, (6)
где т — целое положительное число, не являющееся точным квадратом.

Они представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени и связаны со многими важными задачами теории чисел. Прежде всего сделаем два замечания. Во-первых, при любом т. уравнение (6) имеет по крайней мере два решения: х =

1, у = 0. Эти решения мы назовём тривиальными. Во-вторых, поскольку при изменении знака у х или у левая часть уравнения (6) не изменится, достаточно ограничиться нахождением только неотрицательных решений (т. е. решений с неотрицательными х и у).

Решая уравнение Пелля, мы будем отвечать на три вопроса.
1) Существует ли хотя бы одно нетривиальное решение?
2) Если да, то как его найти?
3) Как описать все решения?

Заметим, что ограничение на параметр т является естественным. Если т - точный квадрат, то уравнение (6) не имеет нетривиальных решений.

Действительно, разность двух точных квадратов в левой части может равняться единице, только если первый из них равен единице, а второй — нулю.

2. Пример уравнения: х² - 2y² =1.

Рассмотрим уравнение Пелля при m=2: х² - 2y² =1.
Несложная выкладка показывает, что если пара (х, у) является решением рассматриваемого уравнения, то пара (3х + 4у, 2х + 3у) тоже его решение. Действительно,
(3х + 4у)² — 2(2х + Зy)² = (9х² + 24ху + 16у²) —
— 2(4х² + 12ху+9у²)= x² — 2у². Поэтому если х² - 2у² = 1, то и (Зх+4у)² – 2 (2х+Зу)² = 1.

Значит, исходя из тривиального решения х₀ = 1, y₀ = 0, мы можем получить бесконечную последовательность (нетривиальных) решений (x_i, у_i) с помощью рекуррентной формулы (х_i,у_i) = f (x_i-1,y_i-1), где f (х, у) = (3х + 4у, 2х + 3у). Вот несколько первых её членов: (3,2), (17,12), (99,70), (577,408).

Докажем теперь, что этой последовательностью (х_i,у_i) исчерпываются все неотрицательные решения уравнения. Тогда описание всех его решений можно будет считать завершённым.

Неотрицательные решения уравнения Пелля можно естественным образом упорядочить, для этого рассмотрим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих соотношению х² - 2у² = 1, лежащих в первой координатной четверти. Это - график функции у=

, определённой при х 1 (рис. 3).

Рис.3. График функции у=

.

Будем говорить, что точка на этом графике тем больше, чем дальше она находится от точки (1,0). Поскольку функция монотонна, большей из двух точек графика будет та, у которой больше как абсцисса, так и ордината. Неотрицательные решения уравнения Пелля суть целые точки на графике. Поэтому неравенство (х’, у’) < (х”, у”) для двух различных неотрицательных решений (х’, у’) и (х”, у”) означает, что х’ < х” (и, тем самым, у’ < у”).

Отображение f является монотонным относительно введённого упорядочения. Действительно, для неотрицательных х’, у’, х” и у”
из неравенств х’ < х” и у’ < у” очевидным образом следуют неравенства 3х’ + 4у’ < 3х” + 4у” и 2х’ + 3у’ < 2х” + 3у”. Любое монотонное отображение имеет обратное, также являющееся монотонным. Обратным к f является отображение g (х,у) = (3х — 4у, 3у — 2х). Оно также переводит любое решение уравнения в решение.

Предположим, что существует решение (х’, у’) уравнения х² - 2у² = 1, не совпадающее ни с одним из членов построенной последовательности (х_i,у_i). Поскольку х_i и y_i неограниченно возрастают, решение (х’,у’) лежит между какими-то двумя решениями из последовательности: (х_i,у_i) < (х’,у’) < (х+1,у+1). Применяя к этому двойному неравенству монотонное отображение g последовательно i раз, получим (х₀,у₀)<(х’,у’)<(х₁,у₁), где g (х’,у’) тоже решение уравнения. Однако нетрудно убедиться, что между решениями (1,0) и (3,2) других решений рассматриваемое уравнение не имеет. Полученное противоречие доказывает, что любое неотрицательное решение принадлежит последовательности (х_i, у_i).

Аналогичным образом можно описать решения и других уравнений Пелля. Для этого достаточно найти аналог отображения f для произвольного параметра т. Это отображение должно переводить любое неотрицательное решение уравнения Пелля в другое неотрицательное решение и быть монотонным на множестве неотрицательных решений уравнения.
3. График уравнения Пелля.

График уравнения x²-my²=1- это гипербола (рис. 4), асимптотами которой являются прямые

. Чтобы убедится в этом, разложим левую часть уравнения на множители:

и введём новую (косоугольную) систему координат, направив ось Ох’ вдоль прямой

, а ось Оу’- вдоль прямой . В системе координат Ох’у’ уравнение нашей кривой запишется в привычном виде: х’у’= const.

Рис.4. График уравнения x²-my²=1

При любом m гипербола проходит через точку (1, 0) и симметрична относительно обеих координатных осей.

Вместе с гиперболой х² - mу² = 1, рассмотрим серию кривых l_n, задаваемых уравнениями х² - mу² =n, где п — всевозможные целые числа (рис. 5). Кривые l_n при n

0 представляют собой гиперболы, а l₀ — это пара прямых у = , являющихся общими асимптотами этого семейства гипербол.

Рис.5 Графики уравнений х² - mу² =n.

Поскольку для любой целой точки величина х² - ту² является целым числом, каждая целая точка попадает на один из графиков l_n . Так как т не является точным квадратом, на l₀ (паре асимптот) лежит лишь начало координат. Все остальные целые точки лежат на гиперболах.

С каждой гиперболой l_n связана сопряжённая ей гипербола l_-n. Если мы выберем на одной из гипербол пару центрально-симметричных относительно начала координат точек, то на сопряжённой гиперболе можно выбрать такую пару центрально-симметричных точек, чтобы все четыре точки были вершинами параллелограмм со сторонами, параллельными асимптотам. Такие пары точек будем называть сопряжёнными друг другу. Действительно, если в системе координат, оси которой идут вдоль асимптот, пара симметричных точек имеет координаты (х’, у’) и (-х’, -у’), то сопряжённой ей в той же системе координат является пара симметричных точек (х’,-у’) и (-х’,у’).

4. Общее решение уравнения Пелля.

Если уравнение Пелля имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то, умножая его многократно на себя, можно найти бесконечно много решений. При этом все решения можно найти аналогично тому, как мы действовали в частном случае m=2. Двигаясь по графику уравнения (рис.6) из точки (1,0) в направлении положительных значений y, находим первое нетривиальное решение. Это решение назовём основным.

Рис.6. График уравнения x²-3y²=1

Теорема 1. Все нетривиальные положительные решения получаются многократным умножением основного решения на себя.

Доказательство. Рассмотрим последовательность (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (x_n,y_n),… решений, получаемых из основного решения (x₁,y₁) последовательным умножением на него. Предположим, что на графике уравнения между двумя её членами (x_n,y_n) и (x_n+1,y_n+1) имеется некоторое решение. Умножив его на (x₁,-y₁), получим новое решение, лежащее между (x_n-1,y_n-1) и (x_n,y_n). Действительно, умножение на (x₁,-y₁) является обратной операцией к умножению на (x₁,y₁). Проделав такую операцию n раз, получим решение, лежащее между (1,0) и (x₁,y₁). Это противоречит тому, что (x₁,y₁) – основное решение.