Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №10, 11, 12 для студентов специальности 120100 заочной формы обучения (стр. 2 из 8)

Решение. Согласно методу Коши, имеем:

т.е. данный ряд сходится.

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл:

Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Решение. Исследуем данный ряд с помощью предельного признака сравнения. Имеем В качестве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд, возьмем гармонический расходящийся ряд с общим членом

. Тогда, используя первый замечательный предел, имеем

Исследуемый ряд расходится.

Решение. Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов

не выполняется. Действительно,

т.е. исходный ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

знакочередующийся ряд

Решение. Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:

т.е. данный ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:

. Применим признак Д’Аламбера:

т.е. ряд

сходится. Исходный ряд абсолютно сходится.

Пример 4. Найти область сходимости ряда

Решение. Воспользуемся признаком Д’Аламбера:

Интервал сходимости определяется неравенством

, откуда

. Исследуем граничные точки этого интервала. При х=0 получим числовой ряд, членами которого являются нули. Этот ряд сходится, точка

х=0 входит в его область сходимости. При х=1 получим числовой ряд

. Воспользовавшись предельным признаком сравнения рядов с положительными членами, сравним данный ряд с гармоническим рядом, который расходится и общий член которого :

Следовательно, числовой ряд

расходится и точка х=1 не входит в область сходимости.

Таким образом, область сходимости исследуемого ряда

Пример 5. Вычислить

приближенно с точностью α=0,0001,

воспользовавшись разложением функции

в степенной ряд.

Решение. Воспользуемся рядом:

Так как

, то

Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того чтобы вычислить значения функции с точностью

необходимо, чтобы первый отбрасываемый член был меньше 0,0001 (по следствию из признака

Лейбница). Имеем:

С заданной степенью точности

Пример 6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определённый интеграл

с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом

Тогда

Получили бином вида (1+z)ⁿ, где n=-1/3, a z=-(x/2)³ . Имеем:

Пример 7. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом

) функцию

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

Контрольная работа № 11

Уравнения математической физики. Теория функций комплексного переменного. Элементы операционного исчисления

Литература: [ 2], гл. 6, гл. 7, гл. 8; [8], гл. 8, гл. 9.

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность:

2. Подобие:

3. Смещение:

4. Дифференцирование оригинала:

…………………………………………………………

5. Дифференцирование изображения

…………………………….

Соответствие между оригиналами и изображениями

Таблица 2

№	x(t) при (оригинал)	X(p) (изображение)	№	x(t) при (оригинал)	X(p) (изображение)
I	1		VI
II			VII
III			VIII
IV			IX
V			X

Пример 1. Дана струна, закрепленная на концах х=0 и х=l. Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной ОАВ (рисунок 1). Найти форму струны для любого времени t, если начальные скорости отсутствуют.