Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №10, 11, 12 для студентов специальности 120100 заочной формы обучения (стр. 4 из 8)

Пример 5. Студент знает 20 вопросов из 40 по первому разделу и 40 из 50 вопросов по второму разделу. На экзамене ему случайным образом предлагается ответить на вопросы из обоих разделов. Найти вероятность того, что студент ответит правильно: 1) на оба вопроса; 2) только на один вопрос; 3) хотя бы на один вопрос.

Решение. 1. Пусть событие А состоит в том, что студент ответит правильно на вопрос из первого раздела. Р(А) = 20/40 = 0,5.

Событие В – студент ответит верно на вопрос второго раздела

Р(В) = 40/50 = 0,8. Вероятность события В не зависит от того, ответит студент или нет на вопрос из первого раздела. События А и В независимы.

Событие АВ – студент ответит правильно на оба вопроса.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

2. Событие “Студент ответит правильно только на один вопрос” раскладывается на элементарные события:

(студент ответит правиль но на вопрос из первого раздела и неправильно на вопрос второго раздела или ответит неправильно на вопрос первого раздела и правильно на вопрос второго раздела). Событие – студент ответит неправильно на вопрос первого раздела. Р( ) = 20/40 = 0,5. Событие – студент ответит неправильно на вопрос второго раздела. Р( ) = 10/50 = 0,2.

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий, получим: Р(

) = Р(А) Р( ) + Р( ) Р(В) = 0,5 0,2 + 0,5 0,8 = 0,5.

3. Событие A+B –студент ответит правильно хотя бы на один вопрос. Вероятность события A+B можно найти тремя способами.

1 способ решения. Событие A+B возможно разложить на элементарные события : AB +A

+ B. Тогда:

P(AB + A

+ B) = P(A) P(B) + P(A) P( ) + P( ) P(B) = 0,5 0,8 + 0,5 0,2+ +0,5 0,8 = 0,9.

2 способ решения. Событие A+B противоположно событию

- студент не ответит на вопросы обоих разделов. Воспользуемся формулой:

P(A+B) = 1

P ( ) = 1 – 0,5 0,2 = 0,9.

3 способ решения. Так как события A и B совместные и независимые, воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух совместных событий: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,5 + 0,8 – 0,5

0,8 = 0,9.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пример 6. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,1 и 0,9. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 – для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар? Какова вероятность того, что он купил товар в первом магазине?

Решение. Пусть событие B – покупатель приобрел товар. Он может сделать это в двух магазинах. Событие

– покупатель обращается в первый магазин, - во второй магазин. и образуют полную группу событий. P( )=0,1; P( )=0,9. P( )+P( )=1.

Вероятность того, что покупатель приобретет товар при условии, что он обратится в первый магазин:

(B) =0,8

Вероятность того, что покупатель приобретет товар при условии, что он обратится во второй магазин:

(B)=0,4.

Для того, чтобы найти вероятность того, что покупатель купил товар, применяем формулу полной вероятности:

P(B) = P(

) (B) + P( ) (B) = 0,1 0,8 + 0,9 0,4=0,44.

Покупатель приобрел товар с вероятностью 0,44. Для того, чтобы найти вероятность того, что купил его в первом магазине, применяем формулу Байеса:

Повторные независимые испытания

Формула Бернулли

Пример 7. 25% большой партии костюмов составляют костюмы 48 размера. Найти наивероятнейшее число костюмов 48 размера среди серии из шести отобранных наугад и вычислить соответствующую этому вероятность. Вычислить вероятность того, что среди костюмов этой серии хотя бы один будет 48 размера.

Решение. Большая партия означает, что при взятии из этой партии нескольких костюмов 48 размера, вероятность извлечь следующий костюм 48 размера остается равной p =1/4. Вероятность противоположного события q = 1 – p = 1 -1/4 = 3/4Так как отбирается n=6 костюмов, то имеем повторные независимые испытания. Найдем наивероятнейшее число костюмов 48 размера среди шести отобранных по формуле:

k целое число ,

.

Применим формулу Бернулли. Вероятность попадания одного костюма 48 размера в серию из 6 костюмов равна:

Пусть событие A состоит в том, что среди шести костюмов хотя бы один будет 48 размера, то есть из шести костюмов будет один или два, или три, или четыре, или пять, или шесть 48 размера, то есть k=1;2;3;4;5;6.

P (A) =

(1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6)

Возможно вычислить вероятность

(k) (k=1,…,6) по формуле Бернулли, а затем применить теорему сложения вероятностей шести несовместимых событий. Однако, проще вычислить искомую вероятность следующим образом. Обозначим событие - костюм не 48 размера, соответствует значению k=0 .Учитывая , что P( A )+P( )=1 , получим :