А. Е. Медведев Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича со ран 630090, Новосибирск
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ КРОВИ ПРИ ТЕЧЕНИИ
В МЕЛКИХ СОСУДАХ
А.Е. Медведев
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
630090, Новосибирск,
e-mail: medvedev@itam.nsc.ru
Введение. Течение крови имеет ряд особенностей – в крупных кровеносных сосудах (более 1000 микрон) кровь ведет себя как ньютоновская вязкая несжимаемая жидкость, для более мелких сосудов необходимо учитывать реологические неньютоновские свойства течения крови [1]. Поэтому для математического описания течения крови в крупных сосудах обычно используется модель вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости, а для мелких кровеносных сосудов – различные реологические модели неньютоновской жидкости.
Особенности течения крови. Кровь (с точки зрения механики) представляет собой суспензию, состоящую из плазмы (вязкая несжимаемая жидкость) и эритроцитов (двояковогнутые деформируемые диски размером 8 мкм на 2.5 мкм, заполненные гелем). Одной из основных характеристик крови является показатель гематокрита
– объемное содержание эритроцитов в крови. Течение крови в сосудах отличается особенностями (эффектами): I) зависимость показателя гематокрита от диаметра сосуда (эффект Фареуса); II) существование пристеночного слоя плазмы без эритроцитов; III) тупой (по сравнению с профилем течения Пуазейля) профиль скорости крови; IV) вязкость крови падает с уменьшением размера сосуда (эффект Фареуса-Линдквиста.Модель течения крови. Рассмотрим кровь как суспензию, состоящую из двух несжимаемых фаз. Первая фаза – плазма крови, вторая – эритроциты. Относительная вязкость суспензии зависит от концентрации и, согласно формуле Эйнштейна, имеет вид
(1)где
– объемная доля эритроцитов (локальный показатель гематокрита), 
, 
– динамическая вязкость крови и плазмы, соответственно.Известно ([2]), что эритроциты неравномерно распределены по сечению сосуда, то есть объемная доля эритроцитов
зависит от радиуса. Решение уравнений, аналогичных уравнениям Пуазейля, но с переменной вязкостью, дает скорость крови 
(2)где
– безразмерный радиус, 
– максимальная скорость течения Пуазейля. | ã Медведев А.Е., 2011 |
Скорость крови
имеет более тупой профиль, по сравнению с параболическим решением Пуазейля 
. Это связано с тем, что концентрация эритроцитов 
имеет максимум на оси сосуда и минимум на стенке. В силу этого относительная вязкость 
(1) имеет максимум на оси и минимум на стенке сосуда. Тогда в центре сосуда (при 
) имеем 
, отсюда получим 
; на стенке сосуда (при 
) скорость течения крови 
. Таким образом, профиль скорости течения крови тупой, по сравнению с профилем скорости Пуазейля. | a b   Рис. 1. Зависимость отношения показателей гематокрита  (a) и относительной наблюдаемой вязкости  (b) от диаметра сосуда  для фиксированных значений показателя гематокрита  . Значки – экспериментальные данные из [2] для стеклянных трубок. Линии (a) – аппроксимация экспериментальных точек [2], линии (b) – относительная наблюдаемая вязкость, рассчитанная по предлагаемой модели. |
Для простоты примем, что распределение объемной доля эритроцитов
по сечению сосуда задается ступенчатой функцией: 
(5)где
– относительная толщина пристеночного слоя плазмы, 
– объемная доля эритроцитов на оси сосуда.Эффект образования пристеночного слоя связан с поперечной миграцией эритроцитов при движении по сосуду. В механике суспензий это явление называется эффектом Сегре-Зильберберга. Толщина пристеночного слоя зависит от диаметра трубы, свойств несущей жидкости и частиц. Поведение эритроцитов во время движения кардинально отличается от твердых частиц – эритроциты могут деформироваться и слипаться, образую “монетные столбики”. Для нахождения уравнения состояния крови были взяты экспериментальные данные по зависимости показателя гематокрита от диаметра сосуда (рис. 1a).
Задача нахождения уравнения состояния крови сводится к решению алгебраического уравнения на толщину пристеночного слоя
и объемной доли эритроцитов : 
(5)где
, 
– функция, аппроксимирующая экспериментальные данные на рис. 1a. | a b   Рис. 2. (a) Зависимость относительной толщины пристеночного слоя плазмы  от диаметра сосуда для 4-x значений показателя гематокрита  . Точки – эксперименты из [3]. Сплошные линии – расчет по предложенной модели. (б) Сравнение экспериментального (точки из [4]) и расчетного по (2) (сплошная красная кривая) распределения скорости крови в стеклянной трубке диаметром 54.2 мкм (  , градиент давления  дин/см3). Синяя линия – скорость течения Пуазейля. |
Выводы. Проведено сравнение с известными экспериментальными данными [1-3] по относительной наблюдаемой вязкости
(рис. 1a), по толщине пристеночного слоя (рис. 2a) и профилю продольной скорости крови 
(рис. 2b). Как видно из рис. 1 и 2, несмотря на грубое приближение профиля локального гематокрита ступенчатой функцией (5), результаты расчета по модели находятся в рамках погрешности экспериментальных измерений.Получена зависимость вязкости крови от диаметра сосуда для описания течения в сосудах диаметра больше 4.5 микрон. Данные зависимости имеют единые вид для сосудов всех размеров и переходят в формулы течения Пуазейля при больших диаметрах сосудов.
Работа выполнена при поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 91.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. М.: Медицина, 1982. 272 с.
2. Pries A.R., Secomb T.W. In: Handbook of Physiology: Microcirculation. Ed. Tuma R.F., Dura W.N., Ley K. 2nd ed. Academ Press. 2008. P. 3–36.
3. Sharan M., Popel A.S. A two-phase model for flow of blood in narrow tubes with increased effective viscosity near the wall // Biorheology. 2001. V. 38. P. 415–428.
4. Long D.S., Smith M.L., Pries A.R. et al. Microviscometry reveals reduced blood viscosity and altered shear rate and shear stress profiles in microvessels after hemodilution // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2004. V. 101. N. 27. P. 10060–10065.